MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 323

Liczba punktów wspólnych jest liczbą rozwiązań równania $f(x)=y$.

a) $2(x-3)^2+5=5$, więc $(x-3)^2=0$ — jedno rozwiązanie.

b) $-(x+2)^2=-1$, więc $(x+2)^2=1$ — dwa rozwiązania.

c) $x^2-7x+6=3$, czyli $x^2-7x+3=0$. Ponieważ $\Delta=37>0$, są dwa rozwiązania.

d) $-x^2-x-6=0$, czyli $x^2+x+6=0$. Ponieważ $\Delta=-23<0$, nie ma rozwiązań.

Dziedziny obu części dają $(-\infty;3\rangle\cup(3;4\rangle=(-\infty;4\rangle$.

b) Dla $x=-2$ i $x=2$ korzystamy z pierwszego wzoru, a dla $x=4$ z drugiego: $f(-2)=5,\qquad f(2)=-3,\qquad f(4)=-5.$

Pierwsza część ma postać $(x-1)^2-4$ i zbiór wartości $\langle-4;\infty)$. Druga część, dla $3<x\le4$, przyjmuje wartości od $-5$ włącznie do $0$ bez zera. Suma tych zbiorów to $\langle-5;\infty)$.

Wykres składa się z części paraboli $y=(x-1)^2-4$ dla $x\le3$ oraz części paraboli $y=-(x-1)^2+4$ dla $3<x\le4$.

Sprowadzamy wzory do postaci kanonicznej.

a) $f(x)=2\left(x-\frac54\right)^2+\frac{23}{8}$, więc minimum to $\frac{23}{8}$ dla $x=\frac54$; maksimum nie istnieje.

b) $f(x)=-(x-2)^2+4$, więc maksimum to $4$ dla $x=2$; minimum nie istnieje.

c) $f(x)=(x+2)^2+1$, więc minimum to $1$ dla $x=-2$; maksimum nie istnieje.

Dla $f(x)=ax^2+24x-8$ współrzędna wierzchołka wynosi $p=-\frac{12}{a}$, a $q=f(p)=-\frac{144}{a}-8.$ Warunek $q=4p$ daje $-\frac{144}{a}-8=-\frac{48}{a},$ stąd $a=-12$. Wtedy $p=1$ i $q=4$.

Uzupełniamy kwadrat: $f(x)=\left(x-\frac{\sqrt7}{2}\right)^2+3-\frac74=\left(x-\frac{\sqrt7}{2}\right)^2+\frac54.$ Kwadrat jest nieujemny, więc $f(x)\ge\frac54>1$ dla każdego $x\in\mathbb R$. To dowodzi tezy.

Wierzchołek leży pod osią $OX$, gdy jego rzędna jest ujemna.

a) $f(x)=-2(x+1)^2+a+2$, zatem $a+2<0$.

b) $f(x)=6\left(x-\frac13\right)^2-a-\frac23$, zatem $-a-\frac23<0$.

a) $f(x)=3\left(x-\frac13\right)^2+\frac53$, więc najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru wartości jest $2$.

b) $f(x)=-\left(x-\frac32\right)^2-\frac74$, więc największą liczbą całkowitą należącą do zbioru wartości jest $-2$.

Odczytujemy monotoniczność z położenia wierzchołka i kierunku ramion.

a) Wierzchołek ma odciętą $4$, a ramiona są skierowane w górę.

b) Wierzchołek ma odciętą $-3$, a ramiona są skierowane w dół.

c) $f(x)=(x-6)^2-1$.

d) Wierzchołek ma odciętą $\frac52$, a ramiona są skierowane w dół.

Oś symetrii ma równanie $x=\frac{2020}{2\cdot2021}=\frac{1010}{2021}\approx0{,}49975.$ Funkcja maleje na lewo od tej osi i rośnie na prawo od niej. Porównanie położenia podanych argumentów względem osi daje kolejno:

a) $0{,}48<0{,}499<\frac{1010}{2021}$;

b) $\frac{1010}{2021}<5{,}113<5{,}2$;

c) oba ułamki leżą na prawo od osi, a $\frac{2021}{2022}<\frac{2022}{2021}$;

d) $-\sqrt5<-\sqrt2<\frac{1010}{2021}$.

Podstawiamy współrzędne punktów do $y=ax^2+bx+c$.

a) Z punktu $A$ mamy $c=4$. Pozostałe punkty dają $a+b=-3$ i $2a+b=-2$, więc $a=1$, $b=-4$.

b) Otrzymujemy układ $a+b+c=1$, $a-b+c=-5$, $4a+2b+c=1$. Stąd $b=3$, $a=-1$, $c=-1$.

Załóżmy, że punkty leżą na wykresie $y=ax^2+bx+c$, gdzie $a\ne0$. Z punktu $C$ wynika $c=1$. Punkty $A$ i $B$ dają $a-b=-2,\qquad a+b=2.$ Po dodaniu równań dostajemy $2a=0$, czyli $a=0$, sprzecznie z warunkiem, że wykres jest parabolą. Teza została wykazana.