MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 322

Zapisujemy $f(x)=a(x-p)^2+q$ dla podanego wierzchołka, podstawiamy punkt $P$, aby wyznaczyć $a$, a następnie rozwijamy kwadrat. Otrzymane współczynniki $a$ to kolejno $1,2,-\frac49,5$.

Dla postaci ogólnej stosujemy $x=-b/(2a)$, a z postaci kanonicznej odczytujemy oś bezpośrednio. Daje to kolejno wskazane sześć prostych.

Oś trójmianu $Ax^2+Bx+C$ ma równanie $x=-B/(2A)$. Podstawienie podanych osi daje: $-b/6=2$, $b/4=-1$ oraz $-b/[2(1-b)]=1$.

a) Z $f(0)=3$ mamy $c=3$, a z $f(1)=0$ — $b=-4$. b) Wierzchołek ma odciętą $1$, więc $-b/2=1$ i $b=-2$; warunek $f(1)=10$ daje $c=11$. c) Postać kanoniczna to $(x+1)^2+2$, więc po rozwinięciu $b=2$, $c=3$.

Podstawiamy odciętą wierzchołka do wzoru $x_w=-b/(2a)$, a następnie sprawdzamy jego rzędną. Otrzymujemy kolejno równania prowadzące do $m=2,8,6,3$; dla każdej wartości podana rzędna także się zgadza.

Parabola ma miejsca zerowe $-2$ i $3$ oraz ramiona skierowane w dół. Rozwiązujemy kolejno równania lub nierówności po przeniesieniu prawej strony: dla a) $-x^2+x=0$; dla c) $-x^2+x+2\ge0$; dla d) $-x^2+x+12>0$.

a) $f(x)=(x-2)^2+c-4$, więc minimum $c-4$ ma być równe $3$; stąd $c=7$. b) $f(x)=-(x-1)^2+c+1$, więc maksimum $c+1=2$ i $c=1$.

Parabola $y=x^2-4x+c=(x-2)^2+c-4$ ma minimum $c-4$. Nie przecina prostej poziomej $y=k$, gdy całe jej ramię leży nad nią, czyli $c-4>k$. Dla $k=3$ i $k=-2$ otrzymujemy odpowiednio $c>7$ i $c>2$.