MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 320

Z wykresu odczytujemy wierzchołek $(2,2)$, więc $p=2$, $q=2$ i $f(x)=-\frac12(x-2)^2+2$. Następnie $g(x)=f(x+3)+2=-\frac12(x+1)^2+4.$ Nowy wierzchołek to $(-1,4)$, a ramiona są skierowane w dół.

Zrównujemy wzór funkcji z równaniem prostej. Otrzymujemy kolejno: $2(x-3)^2=0$ — jedno rozwiązanie; $(x+2)^2=1$ — dwa; $x^2-7x+3=0$ z dodatnim wyróżnikiem — dwa; oraz $x^2+x+6=0$ z ujemnym wyróżnikiem — brak rozwiązań.

W każdym podpunkcie z danych odczytujemy wierzchołek $(p,q)$, a następnie podstawiamy dodatkowy punkt do $a(x-p)^2+q$. W d) odcięte $-1$ i $-3$ są symetryczne względem $p=-2$, a styczność z $y=3$ daje $q=3$.

Najmniejsza wartość funkcji, osiągana dla $x=-k$, wynosi $-\frac14k^2$. Warunek $-\frac14k^2>-4$ jest równoważny $k^2<16$, czyli $-4<k<4$. Największą liczbą całkowitą w tym przedziale jest $3$.

Traktujemy każdą rodzinę jako sumę punktów jej wszystkich wykresów. a) Dla dowolnych $x,y$ wybór $a=y-x^2$ daje punkt na wykresie, więc otrzymujemy całą płaszczyznę. b) Równanie można spełnić wtedy i tylko wtedy, gdy $y\ge0$, wybierając $a=x\pm\sqrt y$. c) analogicznie trzeba i wystarcza $y\ge2$.

a) Istnienie rzeczywistego $a$ wymaga $a^2=y-x^2\ge0$, więc do żadnej paraboli nie należą punkty $y<x^2$.

b) Tu $a^2=x^2-y\ge0$, zatem wykluczony jest obszar $y>x^2$.

c) Mamy $y=(x+a)^2+1$, więc rodzina pokrywa obszar $y\ge1$; niepokryta jest półpłaszczyzna $y<1$.

Wartość bezwzględna odbija część wykresu leżącą poniżej osi $OX$.

a) Dla $|x|<\sqrt2$ mamy $f(x)=2-x^2$, a poza tym $f(x)=x^2-2$.

b) Dla $|x-1|\le\sqrt3$ mamy $f(x)=1-(x-1)^2$, a poza tym $f(x)=(x-1)^2-5$.

Równanie $|x^2-4|=m$ nie ma rozwiązań dla $m<0$. Dla $m\ge0$ rozbijamy je na $x^2=4+m$ oraz $x^2=4-m$. Pierwsze daje dwa rozwiązania, drugie dwa dla $0<m<4$, jedno dla $m=4$ i żadnego dla $m>4$. Dla $m=0$ oba równania opisują tę samą parę.