MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 319

Skoro przesunięcie $f$ o $[2,-3]$ daje $g$, to $f(x)=g(x+2)+3$. Zatem $f(x)=2(x+2)^2-4(x+2)+1+3=2x^2+4x+4.$

Szkicujemy tylko wskazane fragmenty parabol. W punktach podziału obie formuły dają tę samą wartość: w a) $(0,-1)$, w b) $(-1,3)$, w c) $(1,0)$, a w d) $(2,5)$. Punkt należy do gałęzi oznaczonej domkniętym końcem. Wierzchołki używanych gałęzi to odpowiednio:

a) $(-2,-5)$ i $(3,-10)$; b) $(-3,7)$ i $(2,-6)$; c) $(-1,2)$ i $(3,8)$; d) $(-2,1)$ i $(1,6)$.

Prosta pozioma ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą wtedy, gdy przechodzi przez jej wierzchołek. Odczytujemy więc rzędne kolejnych wierzchołków.

a) Parabola jest skierowana w górę i ma minimum $2p$. Nie przecina osi $OX$, gdy $2p>0$, czyli $p>0$.

b) Parabola jest skierowana w dół i ma maksimum $4-p$. Cały wykres leży poniżej osi dokładnie wtedy, gdy $4-p<0$, czyli $p>4$.

Największa wartość każdej funkcji jest jej rzędną wierzchołka. Z równań $-m=9$, $1-m=9$, $m^2=9$ oraz $1+m^2=9$ otrzymujemy wskazane wartości.

Dla $a>0$ wierzchołek daje minimum, a dla $a<0$ — maksimum. Brak wartości ujemnych wymaga ramion skierowanych w górę; sama informacja o znaku nie rozstrzyga dodatkowego warunku $q\ge0$, ale wymusza $a>0$.

Po przesunięciu wierzchołek paraboli ma współrzędne $(2a,4a)$. Prosta $y=-4a^2-1$ ma z nią jeden punkt wspólny wtedy, gdy przechodzi przez ten wierzchołek, zatem $4a=-4a^2-1,\qquad(2a+1)^2=0.$ Stąd $a=-\frac12$, a wektor $[2a,4a]=[-1,-2]$.