MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 31

Na podstawie skanu png/031.png odczytujemy, które boki są przyprostokątnymi i przeciwprostokątnymi. W pierwszym trójkącie

$$\sqrt[3]{\left(\frac{15}{2}\right)^3}=\frac{15}{2},\qquad \sqrt[3]{125\cdot15\frac58} =\sqrt[3]{125\cdot\frac{125}{8}}=\frac{25}{2}.$$

Z twierdzenia Pitagorasa

$$x^2=\left(\frac{25}{2}\right)^2-\left(\frac{15}{2}\right)^2=100,$$

więc $x=10$.

W drugim trójkącie boki dane mają długości $\sqrt[4]{8^4}=8$ i $\sqrt[4]{10\,000}=10$, zatem

$$y^2=10^2-8^2=36,$$

czyli $y=6$.

W trzecim trójkącie

$$\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} =\sqrt[5]{\frac{243}{32}}=\frac32,\qquad \sqrt[5]{32}=2.$$

Są to przyprostokątne, więc

$$z^2=\left(\frac32\right)^2+2^2=\frac{25}{4},$$

a stąd $z=\frac52$.

Mnożymy licznik i mianownik przez taki pierwiastek, aby pod pierwiastkiem w mianowniku otrzymać pełną potęgę:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},& \text{b)}\quad&\frac1{\sqrt[3]2}=\frac{\sqrt[3]4}{2},\\ \text{c)}\quad&\frac1{\sqrt[4]2}=\frac{\sqrt[4]8}{2},& \text{d)}\quad&\frac1{\sqrt[5]2}=\frac{\sqrt[5]{16}}{2},\\ \text{e)}\quad&\frac1{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{6},& \text{f)}\quad&\frac1{2\sqrt[3]3}=\frac{\sqrt[3]9}{6},\\ \text{g)}\quad&\frac1{2\sqrt[4]3}=\frac{\sqrt[4]{27}}{6},& \text{h)}\quad&\frac1{2\sqrt[5]3}=\frac{\sqrt[5]{81}}{6}. \end{aligned}$$

Usuwamy pierwiastki z mianowników:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad \frac{12}{\sqrt[3]4} &=\frac{12\sqrt[3]2}{\sqrt[3]8}=6\sqrt[3]2,\\ \text{b)}\quad \frac{3\sqrt[3]2}{\sqrt[3]3} &=\frac{3\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{27}}=\sqrt[3]{18},\\ \text{c)}\quad \frac9{\sqrt[4]{27}} &=\frac{9\sqrt[4]3}{\sqrt[4]{81}}=3\sqrt[4]3,\\ \text{d)}\quad \frac2{\sqrt[5]8} &=\frac{2\sqrt[5]4}{\sqrt[5]{32}}=\sqrt[5]4. \end{aligned}$$

a) Ponieważ $\sqrt{25}=5$,

$$\sqrt[3]{\sqrt{25}}\cdot\sqrt[3]{25} =\sqrt[3]5\cdot\sqrt[3]{25} =\sqrt[3]{125}=5.$$

b)

$$\sqrt{\sqrt[4]{10\,000}-\sqrt[4]1} =\sqrt{10-1}=\sqrt9=3.$$

Oba wyniki są liczbami całkowitymi, a więc wymiernymi.

Porównujemy liczby pod pierwiastkami z odpowiednimi potęgami liczb całkowitych:

$$\begin{aligned} 2^3<23<3^3&\quad\Longrightarrow\quad 2<\sqrt[3]{23}<3,\\ (-3)^3<-19<(-2)^3&\quad\Longrightarrow\quad -3<\sqrt[3]{-19}<-2,\\ 2^4<53<3^4&\quad\Longrightarrow\quad 2<\sqrt[4]{53}<3,\\ (-3)^5<-34<(-2)^5&\quad\Longrightarrow\quad -3<\sqrt[5]{-34}<-2. \end{aligned}$$

Funkcja sześcienna jest rosnąca, więc

$$101^3<n<102^3.$$

Liczb całkowitych leżących ściśle między tymi dwiema potęgami jest

$$102^3-101^3-1 =1\,061\,208-1\,030\,301-1 =30\,906.$$

Oznaczmy $A=\sqrt[4]{5{,}0625}$, $B=\sqrt[5]{5{,}0625}$ i $C=\sqrt[6]{5{,}0625}$. W liczniku otrzymujemy

$$(A+B)-(B+C)+(C+A)=2A.$$

Całe wyrażenie jest zatem równe

$$A=\sqrt[4]{5{,}0625} =\sqrt[4]{\frac{81}{16}} =\frac32.$$

Zamieniamy rozwinięcia okresowe na ułamki:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad 0,(4)&=\frac49,& \sqrt{\frac49}&=\frac23,\\ \text{b)}\quad 0,(296)&=\frac{296}{999}=\frac8{27},& \sqrt[3]{\frac8{27}}&=\frac23,\\ \text{c)}\quad 5,(3)&=\frac{16}{3},& \sqrt[4]{3\cdot\frac{16}{3}}&=\sqrt[4]{16}=2,\\ \text{d)}\quad 2,1(3)&=\frac{32}{15},& \sqrt[5]{15\cdot\frac{32}{15}}&=\sqrt[5]{32}=2. \end{aligned}$$

Korzystamy z własności pierwiastków nieparzystego stopnia:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad& \sqrt[3]{8a^6}-\sqrt[3]{-64a^3} =2a^2+4a,\\ \text{b)}\quad& \sqrt[3]{(-a)^3b\cdot(-b^2)} =\sqrt[3]{a^3b^3}=ab,\\ \text{c)}\quad& \sqrt[5]{(-a)^4(-b)\cdot(-ab^4)} =\sqrt[5]{a^5b^5}=ab. \end{aligned}$$

W podpunkcie d) mianownik wymaga $ab\ne0$. Wtedy

$$\frac{\sqrt[3]{-ab^4}}{\sqrt[3]{-ab}} +\frac{\sqrt[3]{a^4b}}{\sqrt[3]{-ab}} =\sqrt[3]{b^3}+\sqrt[3]{-a^3} =b-a.$$