MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 318

Jeśli przesunięcie o $[u,v]$ zmienia $f$ w $g$, to $g(x)=f(x-u)+v$, czyli $f(x)=g(x+u)-v$. Stosujemy ten wzór w każdym podpunkcie i upraszczamy.

Oś symetrii paraboli w postaci $a(x-p)^2+q$ ma równanie $x=p$. Odczytujemy liczbę przeciwną do liczby zapisanej w nawiasie.

Rzędna wierzchołka jest końcem zbioru wartości. Dla paraboli skierowanej w dół jest maksimum, a dla skierowanej w górę — minimum.

Odczytujemy odciętą wierzchołka. Parabola skierowana w górę maleje po lewej i rośnie po prawej stronie wierzchołka; dla paraboli skierowanej w dół kierunki są odwrotne.

Wierzchołek paraboli to $(1,-2)$. W a) maksimum na dziedzinie osiągamy dla $x=-1$ i wynosi ono $14$. W b) oraz c) wierzchołek należy do dziedziny, a wartości rosną bez ograniczenia.

Z postaci kanonicznej odczytujemy wartość ekstremalną. a) Minimum jest równe $p$, więc $p=-4$. b) Maksimum zawsze wynosi $3$, niezależnie od $p$. c) Aby ramiona były w górę i minimum $-p$ wynosiło $-2$, trzeba $p=2$. d) Dla $p<0$ maksimum wynosi $p$, a nie $0$; dla $p=0$ wzór nie opisuje wymaganej paraboli, więc rozwiązania brak.

Obie liczby są większe od $\frac14$, a funkcja $f$ jest rosnąca na $[\frac14,\infty)$. Ponadto

Wyjściowy wzór to $(x-1)^2$. Przesunięcie o $[u,v]$ daje $(x-u-1)^2+v$. Otrzymane wierzchołki to odpowiednio $(1,1)$, $(3,0)$ i $(-2,-1)$.

Wierzchołek wyjściowej paraboli ma rzędną $3$. Po przesunięciu pionowym o $p$ minimum wynosi $3+p$. Z warunku $3+p=5$ otrzymujemy $p=2$.

Przesunięta parabola ma wierzchołek o rzędnej $p$ i ramiona skierowane w górę, więc jej zbiór wartości to $[p,\infty)$. Jest on zawarty w $[2,\infty)$ dokładnie wtedy, gdy $p\ge2$.