MATeMAtyka 1. Zbiór zadań, strona 317 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przesunięcie wykresu $f(x)=-x^2$ o wektor $[u,v]$ daje $g(x)=-(x-u)^2+v$ . Wstawiamy kolejno podane współrzędne wektora.

Odpowiedź

a) $-(x-3)^2-1$ ; b) $-(x-2)^2$ ; c) $-(x+\frac13)^2+2$ ; d) $-(x-\sqrt2)^2+\sqrt3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy regułę $g(x)=f(x-u)+v$ . Znak współczynnika przy kwadracie określa, czy rzędna wierzchołka jest minimum, czy maksimum.

Odpowiedź

a) $(x-3)^2$ , $[0,\infty)$ ; b) $2(x+5)^2$ , $[0,\infty)$ ; c) $\frac12x^2-3$ , $[-3,\infty)$ ; d) $-2(x-1)^2-2$ , $(-\infty,-2]$ ; e) $-2(x+2)^2+2$ , $(-\infty,2]$ ; f) $\frac32(x-1)^2-3$ , $[-3,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z postaci $a(x-p)^2+q$ odczytujemy wierzchołek $(p,q)$ . Dla $a>0$ funkcja maleje do $p$ i potem rośnie, a dla $a<0$ — odwrotnie. Rzędna $q$ jest odpowiednio minimum albo maksimum.

Odpowiedź

a) $W(0,-2)$ , $[-2,\infty)$ , maleje $(-\infty,0]$ , rośnie $[0,\infty)$ ; b) $W(0,1)$ , $(-\infty,1]$ , rośnie $(-\infty,0]$ , maleje $[0,\infty)$ ; c) $W(4,0)$ , $[0,\infty)$ , maleje $(-\infty,4]$ , rośnie $[4,\infty)$ ; d) $W(-3,0)$ , $(-\infty,0]$ , rośnie $(-\infty,-3]$ , maleje $[-3,\infty)$ ; e) $W(3,4)$ , $(-\infty,4]$ , rośnie $(-\infty,3]$ , maleje $[3,\infty)$ ; f) $W(-4,-5)$ , $[-5,\infty)$ , maleje $(-\infty,-4]$ , rośnie $[-4,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W postaci kanonicznej wierzchołek to $(p,q)$ . Gdy współczynnik przy kwadracie jest dodatni, zbiorem wartości jest $[q,\infty)$ , a gdy ujemny — $(-\infty,q]$ .

Odpowiedź

a) $W(1,6)$ , $[6,\infty)$ ; b) $W(-3,-2)$ , $[-2,\infty)$ ; c) $W(-\frac32,-4)$ , $(-\infty,-4]$ ; d) $W(0,5)$ , $(-\infty,5]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

We wszystkich podpunktach ramiona są skierowane w dół, więc rzędna wierzchołka jest wartością największą. Podstawiamy współrzędne $W=(p,q)$ do postaci $-2(x-p)^2+q$ .

Odpowiedź

a) $f=-2x^2$ , $(-\infty,0]$ ; b) $f=-2(x-2)^2+4$ , $(-\infty,4]$ ; c) $f=-2(x+1)^2+2$ , $(-\infty,2]$ ; d) $f=-2(x-2)^2-4$ , $(-\infty,-4]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Współrzędne wektora są współrzędnymi nowego wierzchołka, bo parabola $-2x^2$ ma wierzchołek $(0,0)$ . W d) przekształcamy $-2x^2+8x-8=-2(x-2)^2$ .

Odpowiedź

a) $[1,3]$ ; b) $[0,-4]$ ; c) $[-5,0]$ ; d) $[2,0]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Współczynnik $a$ nie zmienia się przy przesunięciu. Z postaci kanonicznej odczytujemy wierzchołek $(p,q)$ , czyli zarazem wektor przesunięcia paraboli $y=ax^2$ .

Odpowiedź

a) $f=-\frac13x^2$ , $[-4,0]$ ; b) $f=2x^2$ , $[0,-5]$ ; c) $f=-x^2$ , $[-7,1]$ ; d) $f=3x^2$ , $[1,-2]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem