MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 316

a) Niech podstawa ma długość $b$. Wysokość wynosi $2b$, więc $x^2=(b/2)^2+(2b)^2=17b^2/4$. Stąd $b=2x/\sqrt{17}$ i $P=b\cdot2b/2=b^2=4x^2/17$.

b) Niech krótsza podstawa ma $b$. Dłuższa ma $5b$, wysokość $b$, a poziomy rzut ramienia $2b$. Zatem $x^2=5b^2$ i $P=(b+5b)b/2=3b^2=3x^2/5$.

Punkty przecięcia to $(-2,4),(2,4),(-1,1),(1,1)$. Przekątne leżą na prostych o współczynnikach kierunkowych $-1$ i $1$, więc są prostopadłe. Ich równania można zapisać jako $y=-x+2$ i $y=x+2$, zatem przecinają się w $(0,2)$. Podstawy mają długości $4$ i $2$, a wysokość $3$, więc $P=\frac{4+2}{2}\cdot3=9$.

Parabola przecina prostą $y=-8$ dla $x=\pm2$, a punkty o odciętych $\pm1$ mają rzędną $-2$. Cięciwy łączące punkty $(-2,-8),(-1,-2),(1,-2),(2,-8)$ leżą pod wykresem paraboli, więc utworzony trapez zawiera się w rozważanej figurze. Ma on podstawy $4$ i $2$ oraz wysokość $6$, czyli pole $18>16$. Pole całej figury jest jeszcze większe.

a) Prosta $y=1$ przecina $h(x)=\frac14x^2$ dla $x=\pm2$, parabolę $g(x)=x^2$ dla $x=\pm1$, a oś $OY$ dla $x=0$. Na poziomym odcinku punkty mają więc kolejno odcięte $-2,-1,0,1,2$.

b) Końce odcinka mają odcięte $\pm\sqrt{c/a}$, a punkty wewnętrzne $\pm\sqrt c$. Warunek czterech równych części daje $\sqrt{c/a}=2\sqrt c$, stąd $a=\frac14$.

Mamy $f(2x)=-4x^2$ oraz $f(\frac12x)=-\frac14x^2$. Ich iloczyn to $x^4$. Z drugiej strony $(f(x))^2=(-x^2)^2=x^4$, więc obie strony są równe dla każdego $x$.

Różnica prawej i lewej strony nierówności wynosi

Niech punkty mają odcięte całkowite $m\neq n$. Prosta przez $(m,m^2)$ i $(n,n^2)$ ma współczynnik $\frac{n^2-m^2}{n-m}=m+n.$ Jej równanie to $y=(m+n)x-mn$, więc przecina oś $OY$ w punkcie $(0,-mn)$ o obu współrzędnych całkowitych.