MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 315

Niech dany punkt ma współrzędne $(x_0,y_0)$. Nie leży na osi $OY$, więc $x_0\neq0$. Warunek $y_0=ax_0^2$ wyznacza dokładnie jedną liczbę $a=\frac{y_0}{x_0^2}.$ Istnienie i jednoznaczność tego współczynnika dowodzą tezy.

Porównujemy parabolę $y=x^2$ (lub $y=-x^2$) z odpowiednią prostą poziomą. Punkty graniczne wynikają z równań $x^2=4$, $x^2=1$ i $x^2=0$. W podpunkcie c) liczba $-x^2$ jest zawsze mniejsza od $3$.

Nierówności z $x^2$ zamieniamy na warunki dotyczące $|x|$. Przykładowo $1<x^2<4$ oznacza $1<|x|<2$, a $4\le x^2\le9$ oznacza $2\le|x|\le3$. W c) dolne ograniczenie jest automatyczne.

W każdym podpunkcie podstawiamy $y=x^2$ do dodatkowego warunku: $x^2=x$, $x^2=-x$, $x^2=1/x$, $x^2=x+2$ oraz $x^2=3x$. Rozwiązujemy otrzymane równania, pamiętając w c), że $x\neq0$.

Podstawiamy wskazany argument do wzoru $f(x)=-4x^2$ i podnosimy cały argument do kwadratu. W c) rozwijamy $(p-1)^2$.

Korzystamy bezpośrednio z $f(t)=t^2$ i rozwijamy kwadraty. W ostatnim podpunkcie różnica kwadratów daje $(a+1)^2-(a-1)^2=4a$.

Rozwijamy każdą różnicę:

Niech $A=(x_1,x_1^2)$ i $B=(x_2,x_2^2)$. Ze wzoru na środek: $x_1+x_2=2$ oraz $x_1^2+x_2^2=4$. Po podniesieniu pierwszej równości do kwadratu otrzymujemy $4=4+2x_1x_2$, więc $x_1x_2=0$. Stąd odcięte to $0$ i $2$.

Punkty mają współrzędne $(-1,-a)$, $(0,0)$ i $(1,-a)$. Odcinek między skrajnymi punktami ma długość $2$, a wysokość trójkąta wynosi $|a|$. W trójkącie równobocznym o boku $2$ wysokość ma $\sqrt3$, więc $|a|=\sqrt3$.