MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 314

Ponieważ $A$ leży na paraboli, $b=a^2$. Sprawdzamy warunek $y=x^2$: $B(-a,b)$ go spełnia, $F(2a,4b)$ również, a dla $G(-0{,}2a,0{,}04b)$ mamy $(-0{,}2a)^2=0{,}04a^2=0{,}04b$. Pozostałe punkty nie spełniają równania przy $a\neq0$.

Dwa punkty należą do jednej paraboli $y=ax^2$ dokładnie wtedy, gdy mają tę samą wartość ilorazu $y/x^2$. Porównanie ilorazów w podpunktach daje: w a), b) i c) różne wartości (w c) nawet różne znaki), natomiast w d) oba ilorazy są równe $\frac{\sqrt2}{2}$.

Parabola ma wierzchołek $(0,0)$ i ramiona skierowane w górę. Podstawienie daje $f(2)=2$ i $f(-4)=8$. Równanie $\frac12x^2=2$ ma rozwiązania $x=\pm2$, a wartości większe od $2$ są dla $|x|>2$. Na przedziale $(-4,2\rangle$ najmniejsza wartość to $0$, a $8$ jest jedynie kresem górnym, bo $-4$ nie należy do dziedziny.

Funkcja $-x^2$ rośnie do $x=0$ i potem maleje. Porównujemy więc wartość w zerze, jeśli należy do przedziału, oraz wartości na jego końcach; na nieograniczonym przedziale wartości dążą do $-\infty$.

Parabola $y=x^2$ ma minimum $0$ w zerze i nie ma maksimum na przedziale nieograniczonym. Jeśli zero nie należy do przedziału, minimum wypada w końcu najbliższym zeru. Na $[-2,4]$ maksimum daje $x=4$.

a) Dla $x<0$ funkcja $-2x^2$ rośnie do zera, a dla $x\ge0$ funkcja $2x^2$ dalej rośnie, więc cała funkcja jest rosnąca na $\mathbb R$.

b) Lewa gałąź $-\frac12x^2$ rośnie do wartości $0$, a prawa gałąź $-2x^2$ od zera maleje. Funkcja rośnie na $(-\infty,0]$ i maleje na $[0,\infty)$.

Mamy $s(t)=0{,}4t^2$. Podstawienie kolejnych liczb od $1$ do $10$ daje wartości tabeli. Równanie $0{,}4t^2=10$ daje $t^2=25$, a ponieważ czas jest dodatni, $t=5$ s.

Zrównujemy podane wzory. Otrzymujemy kolejno: $x^2=9$, $x^2=3x$, $x^2=x+2$ oraz, po pomnożeniu przez $4$, $x^2=-x+2$. Rozkład na czynniki daje odpowiednie pary rozwiązań.