MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 310

Po pomnożeniu boków danego trójkąta przez $\sqrt5$ otrzymujemy kolejno $10,15,20$. Wszystkie trzy długości zostały pomnożone przez tę samą dodatnią liczbę, więc trójkąty są podobne.

Z $DE\parallel AC$ wynika podobieństwo $BDE\sim BCA$. Jego skala wynosi $BD/BC=10/12=5/6$, zatem $DE=24\cdot\frac56=20.$

W pierwszym trójkącie trzeci kąt ma $62^\circ$, a w drugim kąt przy $Q$ ma $48^\circ$. Odpowiadają sobie więc $A$ i $P$, $B$ i $Q$, $C$ i $R$. Bok $BC=9$ odpowiada $QR=18$, czyli skala drugiego trójkąta wynosi $2$. Ponieważ $AB$ odpowiada $PQ=17$, mamy $AB=17/2=8{,}5$.

Równość $5=2a+1$ daje $a=2$ i boki $5,5,1$, które spełniają nierówności trójkąta. Równość $5=a-1$ daje $a=6$, lecz wtedy boki $5,13,5$ nie tworzą trójkąta. Równanie $2a+1=a-1$ nie ma dodatniego rozwiązania.

W trójkącie prostokątnym $ADC$ przeciwprostokątna ma długość $4$, a kąt przy $C$ ma $30^\circ$. Wysokość trapezu wynosi więc $AD=4\sin30^\circ=2$. Trójkąt $ABD$ jest prostokątny, zatem $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}.$

Niech mniejszy z dwóch kątów różniących się o $50^\circ$ ma miarę $x$. Pozostałe kąty mają wtedy $x+50^\circ$ oraz $3x$. Z sumy kątów: $x+(x+50^\circ)+3x=180^\circ,$ więc $x=26^\circ$. Kąty mają miary $26^\circ$, $76^\circ$ i $78^\circ$.