MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 309

Trzeci kąt trójkąta ma miarę $180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$. Kąt rozwarty między dwusiecznymi danych kątów ma miarę $90^\circ+\frac{80^\circ}{2}=130^\circ$, więc kąt ostry między tymi prostymi ma $180^\circ-130^\circ=50^\circ$.

Przeskalujmy figurę tak, aby $AD=DB=CE=1$, i oznaczmy $CD=h$, $BC=L$. Punkt $E$ jest spodkiem wysokości z $D$ na przeciwprostokątną $BC$ trójkąta prostokątnego $CDB$, więc $CE=h^2/L$. Stąd $h^2=L$, a z $L^2=h^2+1$ wynika $L^2=L+1$ i $L-1=1/L$.

W układzie $D=(0,0)$, $A=(-1,0)$, $B=(1,0)$, $C=(0,h)$ punkty symetryczne $E,F$ mają tę samą rzędną, a

Przyjmijmy $C=(0,0)$, $A=(24,0)$ i $B=(0,18)$. Przystające trójkąty $ARP$ i $PQB$ mają równe przeciwprostokątne $AP=PB$, więc $P$ jest środkiem $AB$. Zatem $P=(12,9)$, a boki prostokąta $PQCR$ mają długości $12$ i $9$. Jego pole wynosi $12\cdot9=108$.

Promienie słoneczne wyznaczają podobne trójkąty. Jeśli $H$ oznacza wysokość słupa, to $\frac{1{,}5}{2{,}4}=\frac{H}{5{,}6}.$ Stąd $H=1{,}5\cdot\frac{5{,}6}{2{,}4}=3{,}5$ m.

Ramię wzorcowego trójkąta ma $2\sqrt2$, więc skala wynosi $k=\frac6{2\sqrt2}=\frac3{\sqrt2}$. Podstawa ma zatem długość $4k=6\sqrt2$. Obwód to $6+6+6\sqrt2=12+6\sqrt2$.

Pole pierwszego rombu wynosi $\frac{10\cdot24}{2}=120$. Skala długości drugiego rombu to $\sqrt{270/120}=\frac32$. Bok pierwszego rombu ma $\sqrt{5^2+12^2}=13$, więc jego obwód to $52$, a obwód większego rombu: $52\cdot\frac32=78$ cm.

Mały trójkąt ma połowę pola całego, więc jego wysokość stanowi $1/\sqrt2$ wysokości wyjściowej. Pozostały, dolny odcinek wysokości ma długość $h(1-1/\sqrt2)$. Stosunek dolnego odcinka do górnego jest równy $\frac{1-1/\sqrt2}{1/\sqrt2}:1=(\sqrt2-1):1.$

Przeciwległa przyprostokątna ma długość $2+2{,}5=4{,}5$. Twierdzenie o dwusiecznej daje stosunek dwóch pozostałych boków $2:2{,}5=4:5$. Są to przyprostokątna i przeciwprostokątna trójkąta $3$–$4$–$5$. Ponieważ bok odpowiadający liczbie $3$ ma $4{,}5$, skala wynosi $1{,}5$, a przeciwprostokątna ma $5\cdot1{,}5=7{,}5$.