MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 30

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi $\sqrt[3]{a^3}=a$ oraz $(\sqrt[3]{a})^3=a$. Stosujemy te własności od najbardziej wewnętrznego działania:

a) $\sqrt[3]{19^3}=19$.

b) $\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$.

c) $(\sqrt[3]{21})^3=21$.

d) $\left(\sqrt[3]{\frac34}\right)^3=\frac34$.

e) $(\sqrt[3]{5^3})^3=5^3=125$.

f) $\left(\sqrt[3]{(-\frac13)^3}\right)^3=(-\frac13)^3=-\frac1{27}$.

g) $\sqrt[3]{(\sqrt[3]{(-3)^3})^3}=-3$.

h) $\left(\sqrt[3]{(\sqrt[3]{3^3})^3}\right)^3=3^3=27$.

Ze wzoru $V=\frac43\pi R^3$ otrzymujemy $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}.$

a) $R^3=\frac{3\cdot36\pi}{4\pi}=27$, więc $R=3$.

b) $R^3=\frac{3\cdot\frac\pi6}{4\pi}=\frac18$, więc $R=\frac12$.

c) $R^3=\frac{3\cdot\frac9{16}\pi}{4\pi}=\frac{27}{64}$, więc $R=\frac34$.

Obliczamy kolejno:

I. $\sqrt{225}\cdot\sqrt[3]{\frac{64}{125}} =15\cdot\frac45=12>10$.

II. $\sqrt[4]{625}\cdot\frac1{\sqrt[3]{0{,}125}} =5\cdot\frac1{\frac12}=10$, więc iloczyn nie jest większy od $10$.

III. $\sqrt[6]{64}\cdot\sqrt[3]{64}=2\cdot4=8<10$.

IV. $\sqrt[5]{32}\cdot\sqrt[3]{216}=2\cdot6=12>10$.

a) $\sqrt{256}=16$ i $\sqrt[4]{256}=4$, zatem $16:4=4$.

b) $\sqrt[5]{\frac1{32}}=\frac12$, natomiast $\sqrt[5]{-32}=-2$. Różnica wynosi $\frac12-(-2)=\frac52=2\frac12.$

c) Ponieważ $729=3^6$, mamy $\sqrt{729}=27$, $\sqrt[3]{729}=9$, $\sqrt[6]{729}=3$. Oba ilorazy są równe $3$.

Łączymy jednomiany z tym samym pierwiastkiem, a współczynnik przenosimy pod pierwiastek przez użycie $a\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3b}$.

a) $\sqrt[3]2+2\sqrt[3]2=3\sqrt[3]2=\sqrt[3]{54}$.

b) $2\sqrt[3]3+3\sqrt[3]3=5\sqrt[3]3=\sqrt[3]{375}$.

c) $\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]4$, więc suma to $3\sqrt[3]4=\sqrt[3]{108}$.

d) $\sqrt[3]{800}=2\sqrt[3]{100}$ oraz $\sqrt[3]4\cdot\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{100}$. Suma wynosi $3\sqrt[3]{100}=\sqrt[3]{2700}$.

Wyłączamy sześciany spod pierwiastków.

a) $\sqrt[3]{108}=3\sqrt[3]4$, $\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]4$, $\sqrt[3]{4000}=10\sqrt[3]4$, więc iloraz wynosi $\frac12$.

b) $\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]2$, a mianownik jest równy $(2+3+4)\sqrt[3]2=9\sqrt[3]2$. Iloraz wynosi $\frac13$.

c) Licznik to $(2+3)\sqrt[3]2=5\sqrt[3]2$, a mianownik $4\sqrt[3]2$, więc wynik to $\frac54$.

d) Licznik jest równy $(4-2+1)\sqrt[3]3=3\sqrt[3]3$, a mianownik $\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]3$. Iloraz wynosi $1$.

a) $\sqrt[3]{-64}=-4$ i $\sqrt[3]{-27}=-3$, zatem $\sqrt[7]{-128}+\sqrt[5]{-243}=-2-3=-5.$

b) Zapisujemy $1\frac45=\frac95$, $-8\frac13=-\frac{25}{3}$ i $-0{,}12=-\frac3{25}$. Po rozdzieleniu iloczynu otrzymujemy

Objętość kostki jest ilorazem masy i gęstości: $V=\frac{3{,}072}{750}=0{,}004096\ \mathrm{m^3}.$ Jeśli $a$ oznacza długość krawędzi w metrach, to $a=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{0{,}004096}=0{,}16\ \mathrm m.$ Po zamianie jednostek $0{,}16\ \mathrm m=16\ \mathrm{cm}$.