MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 29

a) Korzystamy z $216=6^3$, $0{,}125=(\frac12)^3$ i $-125=(-5)^3$.

b) Zamieniamy liczby na ułamki: $-2\frac{10}{27}=-\frac{64}{27}$, $4\frac{17}{27}=\frac{125}{27}$ oraz $-3{,}375=-\frac{27}{8}$.

c) $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[3]8=2,$ $\frac{\sqrt{\sqrt[3]{64}}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{\sqrt4}{3}=\frac23,$ a w trzecim wyrażeniu kolejno $\sqrt9=3$, $\sqrt[3]{9\cdot3}=3$ i $\sqrt[3]{9\cdot3}=3$.

d) Pierwsze wyrażenie to $\sqrt{6+2+1}=3$, a drugie $\sqrt[3]{7-4-3}=0$.

Łączymy czynniki pod jednym pierwiastkiem sześciennym.

a) $\sqrt[3]{64}\sqrt[3]{0{,}027}=4\cdot0{,}3=1{,}2$ oraz $\sqrt[3]{3{,}375}\sqrt[3]{\frac{64}{125}} =1{,}5\cdot0{,}8=1{,}2$.

b) Iloczyny liczb pod pierwiastkami są równe odpowiednio $\frac1{64}$ i $\frac18$, więc wyniki to $\frac14$ i $\frac12$.

c) $\sqrt[3]{\frac{0{,}008}{125}}=\sqrt[3]{\frac1{15625}}=\frac1{25},$ $\frac{\sqrt[3]{80}}{\sqrt[3]{10}}=\sqrt[3]8=2,$

=\sqrt[3]{\frac{2744}{125}}=\frac{14}{5}=2\frac45.$$ **d)** W pierwszym liczniku $\sqrt[3]{625}=5\sqrt[3]5$, więc wynik wynosi $0$. W drugim $\sqrt[3]{-56}=-2\sqrt[3]7$, $\sqrt[3]{448}=4\sqrt[3]7$ i $\sqrt[3]{875}=5\sqrt[3]7$. Iloraz jest równy $\frac{-13\sqrt[3]7}{-2\sqrt[3]7}=\frac{13}{2}=6\frac12$.

Każdą liczbę $q$ zapisujemy jako $\sqrt[3]{q^3}$:

a) $5=\sqrt[3]{125}$.

b) $-4=\sqrt[3]{-64}$.

c) $-1=\sqrt[3]{-1}$.

d) $\frac23=\sqrt[3]{\frac8{27}}$.

e) $0{,}1=\sqrt[3]{0{,}001}$.

f) $-1\frac25=-\frac75=\sqrt[3]{-\frac{343}{125}}$.

Rozpoznajemy odpowiednie potęgi:

0{,}0016=(0{,}2)^4,$$ $$0=0^5,\quad-0{,}00001=(-0{,}1)^5,\quad \frac1{32}=(\frac12)^5,\quad-32=(-2)^5.$$

Korzystamy z $a\sqrt[n]b=\sqrt[n]{a^n b}$; dla pierwiastków stopnia parzystego współczynnik jest nieujemny.

a) $2\sqrt[3]7=\sqrt[3]{8\cdot7}=\sqrt[3]{56}$.

b) $-5\sqrt[3]2=\sqrt[3]{-125\cdot2}=\sqrt[3]{-250}$.

c) $8\sqrt[3]{0{,}125}=\sqrt[3]{512\cdot0{,}125}=\sqrt[3]{64}$.

d) $5\sqrt[4]8=\sqrt[4]{625\cdot8}=\sqrt[4]{5000}$.

e) $0{,}5\sqrt[5]{64}=\sqrt[5]{\frac1{32}\cdot64}=\sqrt[5]2$.

f) $10\sqrt[7]{0{,}0001}=\sqrt[7]{10^7\cdot10^{-4}} =\sqrt[7]{1000}$.

Wyłączamy największą pełną potęgę stopnia równego stopniowi pierwiastka:

a) $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]2$.

b) $\sqrt[3]{-5000}=\sqrt[3]{-1000\cdot5}=-10\sqrt[3]5$.

c) $\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot2}=5\sqrt[3]2$.

d) $\sqrt[4]{81\cdot82}=3\sqrt[4]{82}$.

e) $\sqrt[5]{32\cdot\frac1{33}}=2\sqrt[5]{\frac1{33}}$.

f) $\sqrt[6]{6\,000\,000}=\sqrt[6]{10^6\cdot6}=10\sqrt[6]6$.

Funkcja $t\mapsto\sqrt[3]t$ jest rosnąca. Włączamy współczynniki pod pierwiastek i porównujemy liczby pod pierwiastkami:

$$\begin{array}{c|c} \text{liczba}&\text{liczba pod pierwiastkiem}\\ \hline 7\sqrt[3]2&686\\ 2\sqrt[3]7&56\\ \sqrt[3]{27}&27\\ \frac72\sqrt[3]{\frac27}&\frac{49}{4}\\ \sqrt[3]{\frac{27}{100}}&\frac{27}{100}\\ \sqrt[3]{0{,}027}&0{,}027 \end{array}$$

Te wartości są już zapisane w kolejności malejącej.