MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 294

Niech $t=CP/CA=CQ/CB=PQ/AB$ oraz $u=BQ/BC=BR/BA=QR/AC$. Ponieważ $CQ+BQ=CB$, mamy $t+u=1$.

a) Z $PQ/QR=3/2=AB/AC$ wynika $t=u=1/2$. Stąd $AP=QR=4$ i $AR=PQ=6$.

b) Warunek $PQ=QR$ daje $ta=ub$. Razem z $t+u=1$ otrzymujemy $t=b/(a+b)$ i $u=a/(a+b)$. Każdy z boków $AP,PQ,QR,RA$ ma wtedy długość $ab/(a+b)$.

Trójkąt $PQR$ jest trójkątem spodkowym. Kąt przy spodku wysokości opuszczonej z danego wierzchołka ma miarę $180^\circ$ pomniejszoną o dwukrotność kąta tego wierzchołka. Punkt $P$ jest spodkiem wysokości z $B$, $Q$ — z $A$, a $R$ — z $C$. Zatem $\angle QPR=180^\circ-2\cdot60^\circ=60^\circ$, $\angle PQR=180^\circ-2\cdot50^\circ=80^\circ$ i $\angle PRQ=180^\circ-2\cdot70^\circ=40^\circ$.

Z podobieństwa $ABG\sim ADE$ mamy skalę $AB/AD=BG/DE=5/15=1/3$, więc $AD=18$ i $AG=AE/3$. Ponieważ $AC=AB+BC=9$, podobieństwo $ACF\sim ADE$ ma skalę $1/2$. Zatem $AF=AE/2$, a z $FE=AE-AF=6$ dostajemy $AE=12$. Stąd $AG=4$, $AF=6$ i $GF=2$. Ponadto $FC=DE/2=7{,}5$, a $CD=AD-AC=9$.

Kąty $ADB$ i $AEB$ są proste, więc punkty $A,D,E,B$ leżą na jednym okręgu o średnicy $AB$. Kąt $ECD$ jest tym samym kątem co $ACB$. Ponadto przeciwległe kąty czworokąta wpisanego spełniają $\angle AED+\angle ABD=180^\circ$, a ponieważ promienie $EC$ i $EA$ są przeciwne, $\angle CED=\angle ABD=\angle ABC$. Dwa kąty są parami równe, więc trójkąty są podobne z cechy KK.

a) Obwód $ABC$ wynosi $12+12+8=32$. Skala $A'B'C'$ do $ABC$ to $9/12=3/4$, więc jego obwód wynosi $24$.

b) Obwód $A'B'C'$ wynosi $4+4+6=14$. Skala $ABC$ do $A'B'C'$ jest równa $BC/B'C'=14/6=7/3$, więc obwód $ABC$ wynosi $14\cdot7/3=98/3$.

Trójkąt $CDE$ jest podobny do $CAB$ w skali $8/12=2/3$. Jego wysokość wynosi więc $(2/3)\cdot6=4$. Pole całego trójkąta to $36$, a małego $\tfrac12\cdot8\cdot4=16$. Pole trapezu jest różnicą: $36-16=20$.

a) Różnica najdłuższego i najkrótszego boku $T_1$ wynosi $10$. Zatem $10k=2{,}5$, czyli $k=1/4$ i boki $T_2$ to $2{,}5$, $3{,}75$, $5$.

b) Obwód $T_1$ wynosi $45$, więc $45k=18$ i $k=2/5$. Boki $T_2$ to $4$, $6$, $8$.

Kąty $EAH$ i $HDG$ są proste, bo są kątami prostokąta $ABCD$. Ponadto $AE\perp DH$ oraz $EH\perp HG$. Obrót obu ramion kąta $AEH$ o $90^\circ$ pokazuje, że $\angle AEH=\angle DHG$. Trójkąty mają więc dwie pary równych kątów i są podobne z cechy KK.