MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 293

Trójkąty $T_1,T_4,T_6$ mają proporcjonalne boki: $(6,9,12)=\tfrac32(4,6,8)=\tfrac34(8,12,16)$, więc są parami podobne z cechy BBB. W $T_2$ trzeci kąt ma $20^\circ$, a w $T_7$ trzeci ma $135^\circ$; mają zatem te same kąty $20^\circ,25^\circ, 135^\circ$. W $T_5$ trzeci kąt ma $80^\circ$, a boki przyległe do niego są w stosunku $4:5$, tak jak boki $8:10$ w $T_3$; te trójkąty są podobne z cechy BKB.

a) Nie. Ten sam kąt ostry może być w jednym trójkącie kątem przy podstawie, a w drugim kątem między ramionami; pozostałe kąty nie muszą być równe.

b) Tak. Równy kąt między ramionami wyznacza też obie równe miary kątów przy podstawie.

c) Tak. Każdy trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty $45^\circ,45^\circ,90^\circ$.

Promienie słońca tworzą podobne trójkąty prostokątne. Jeśli $h$ oznacza wysokość latarni, to $h/8{,}1=1{,}75/3{,}15=5/9$. Stąd $h=8{,}1\cdot5/9=4{,}5$ m.

Ze wzoru na odległość punktów otrzymujemy dla $ABC$ boki $AB=2\sqrt5$, $AC=8$, $BC=2\sqrt{13}$, a dla $DEF$ odpowiednio $DE=\sqrt5$, $DF=4$, $EF=\sqrt{13}$. Każdy bok pierwszego trójkąta jest dwa razy dłuższy od odpowiadającego boku drugiego.

Trójkąty $EDC$ i $EAB$ są podobne, a ich skala wynosi $CD/AB=12/15=4/5$. Niech $ED=x$; wtedy $EA=x+8$ i $x/(x+8)=4/5$, skąd $x=32$. Analogicznie, jeśli $EC=y$, to $EB=y+9$ i $y/(y+9)=4/5$, skąd $y=36$. Obwód $DCE$ wynosi $32+36+12=80$ cm.