MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 295

Z kolejności zapisu podobieństwa $\triangle ACD\sim\triangle ABC$ bokowi $AC$ pierwszego trójkąta odpowiada bok $AB$ drugiego. Dlatego skala pierwszego do drugiego wynosi $k=AC/AB=16/18=8/9$.

Niech wektory położeń wierzchołków czworokąta będą $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$. Wektory kolejnych boków czworokąta środków są równe $(\vec c-\vec a)/2$ i $(\vec d-\vec b)/2$, a boki przeciwległe są ich przeciwnymi wektorami. Jest to więc równoległobok.

Jego pole wynosi $\tfrac14|(\vec c-\vec a)\times(\vec d-\vec b)|$. Po rozwinięciu iloczynu otrzymujemy połowę wartości $\tfrac12|\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec c+ \vec c\times\vec d+\vec d\times\vec a|$, czyli połowę pola wyjściowego czworokąta.

Dla punktu podziału oddalonego od $C$ o $j/7$ długości $CA$ trójkąt przy $C$ jest podobny do $ABC$ w skali $j/7$. Odcinek równoległy do $AB$ ma więc długość $(j/7)\cdot35=5j$. Dla $j=1,\ldots,6$ otrzymujemy kolejno sześć długości.

a) Odcinki przeciwprostokątnej mają długości $4$ i $6$. Twierdzenia o wysokości i przyprostokątnych dają $h^2=4\cdot6$, $a^2=10\cdot4$, $b^2=10\cdot6$. Stąd $h=2\sqrt6$, a przyprostokątne $2\sqrt{10}$ i $2\sqrt{15}$.

b) Niech przyprostokątne mniejszego trójkąta będą $x>y$. Większy ma boki $4x/3,4y/3$. Z danych $x+y=12$ i $x-y=6$, więc $x=9$, $y=3$. Przeciwprostokątne mają długości $\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$ oraz $4\sqrt{10}$.

a) Trójkąty $ABC$ i $ADE$ mają wspólny kąt przy $A$ oraz kąty proste odpowiednio przy $C$ i $E$, więc są podobne z cechy KK.

b) Niech $CD=x$, wtedy $DA=3x$ i $AC=4x$. Z podobieństwa $AB/AD=AC/AE$, a $AB=2AE$, więc $2AE/(3x)=4x/AE$ i $AE=x\sqrt6$, $AB=2x\sqrt6$. Ponadto $BC/DE=AB/AD=2\sqrt6/3$, więc $BC=2\sqrt2$. Z twierdzenia Pitagorasa $24x^2=16x^2+8$, zatem $x=1$ i $AC=4$.

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma połowę jego długości. Trójkąt środkowy ma więc boki $2$, $3$ i $3{,}5$, a jego obwód jest połową obwodu wyjściowego: $(4+6+7)/2=17/2$.

Oznaczmy długość przekątnej przez $d$. W dwóch podobnych trójkątach utworzonych przez przekątną odpowiadają sobie kolejno podstawa $a$, przekątna $d$ i podstawa $b$. Zatem $d/a=b/d$, skąd $d^2=ab$. Długość jest dodatnia.

Z twierdzenia Talesa: $IF\parallel AB$, bo $AI/AC=BF/BC=1/5$; $EH\parallel BC$, bo $AE/AB=AH/AC=4/5$; oraz $DG\parallel AC$, bo $BD/BA=BG/BC=4/5$. Boki $PQR$ są więc równoległe do boków $ABC$, co daje podobieństwo z cechy KKK.

Dla obliczenia skali przyjmijmy $A=0$, $B=\vec b$, $C=\vec c$. Wtedy przecięcia tych trzech prostych mają współrzędne $P=(\vec b+\vec c)/5$, $Q=3\vec b/5+\vec c/5$ i $R=\vec b/5+3\vec c/5$. Stąd $\overrightarrow{PQ}=2\vec b/5$ i analogicznie pozostałe boki są równe $2/5$ odpowiednich boków $ABC$.