MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 292

Trzeba rozdzielić $100$ kwadratów na pola dwóch prostokątów o tym samym stosunku boków. Przykładowo:

• prostokąty $2\times40$ i $1\times20$ zużywają $80+20=100$ pól i oba mają stosunek boków $1:20$;
• prostokąty $4\times20$ i $2\times10$ również zużywają $80+20=100$ pól i oba mają stosunek boków $1:5$.

a–e) Nie. W każdej z tych klas można zmienić stosunek boków lub miary kątów (np. prostokąty $1\times2$ i $1\times3$, romby o różnych kątach), więc dowolne dwie figury nie muszą być podobne.

f) Tak. Dwa foremne $n$-kąty mają te same kąty i wszystkie odpowiadające boki w jednym stałym stosunku, więc są podobne.

Wysokość trapezu wynosi $4\sin60^\circ=2\sqrt3$, a rzut każdej ramienia na podstawę ma długość $4\cos60^\circ=2$. Stąd $AB=10+2+2=14$. Pole pierwszego trapezu to $\tfrac{14+10}{2}\cdot2\sqrt3=24\sqrt3$, a obwód $32$. Stosunek pól wynosi $600/24=25$, więc skala liniowa drugiego wynosi $5$ i jego obwód $160$. Suma obwodów to $192$.

Dwie części muszą być jednakowe, a każda podobna do całości po obrocie. Jeśli duży prostokąt ma stosunek boków $r$, po przecięciu dłuższego boku na połowy część ma stosunek $2/r$. Warunek podobieństwa daje $r=2/r$, czyli $r=\sqrt2$.

Gdy bok $10$ jest krótszy, całość ma $10\times10\sqrt2$, a części $10\times5\sqrt2$. Gdy bok $10$ jest dłuższy, całość ma $10\times5\sqrt2$, a części $5\times5\sqrt2$.

Przy zachowaniu orientacji podobieństwo wymaga $a/b=(a+c)/(b+c)$, co po wymnożeniu daje $ac=bc$, więc $a=b$. Przy zamianie odpowiadających boków mamy $a/b=(b+c)/(a+c)$, czyli $(a-b)(a+b+c)=0$, znów $a=b$. Dla $a=b$ oba prostokąty są kwadratami, więc rzeczywiście są podobne.

Oznaczmy $BC=h$. Z założenia $AB=h/\sqrt2$. Ponieważ $E,F$ są środkami boków pionowych, prostokąt $ABEF$ ma wymiary $h/\sqrt2$ oraz $h/2$. Stosunek jego dłuższego boku do krótszego to $(h/\sqrt2)/(h/2)=\sqrt2$. Taki sam stosunek ma prostokąt $ABCD$: $h/(h/\sqrt2)=\sqrt2$. Prostokąty są więc podobne po obrocie.