MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 291

a) Stosunek boków wzorca wynosi $1:2$. Jeśli $8$ odpowiada bokowi $6$, drugi bok ma $16$; jeśli odpowiada bokowi $12$, drugi ma $4$.

b) Pierwszy prostokąt ma obwód $32$. Skala większego wynosi $48/32=3/2$, więc jego boki to $6$ i $18$. Przekątna ma długość $\sqrt{6^2+18^2}=6\sqrt{10}$.

Niech pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają długości $x,y$. Podobne, ale nieprzystające ściany $16\times x$ i $16\times y$ muszą odpowiadać sobie po obrocie, więc $16/x=y/16$. Stąd $xy=16^2=256$, niezależnie od konkretnych $x,y$. Objętość wynosi $16xy=4096$.

Niech mniejszy prostokąt ma boki $x$ i $3x$, a większy — $2x$ i $6x$. Suma obwodów jest równa $2(x+3x)+2(2x+6x)=24x=240$, więc $x=10$.

Niech długość odcinka podziału wynosi $x$. Dwa trapezy są podobne, przy czym ich odpowiadające podstawy mają długości $8,x$ oraz $x,12$. Zatem $x/8=12/x$, czyli $x^2=96$. Długość jest dodatnia, więc $x=4\sqrt6$.

Prostokąt $HFGC$ ma wymiary $1\times3$. Z warunków orientacji prostokąt $EFHD$ jest do niego podobny w skali $3$, ma więc wymiary $9\times3$. Stąd $HC=FG=1$ i $AB=DH+HC=9+1=10$. Dolny prostokąt jest podobny w tym samym stosunku boków $3:1$, więc $GB=AB/3=10/3$. Wobec tego $BC=CG+GB=3+10/3=19/3$.

Rzeczywista odległość to $4\cdot700\,000$ cm. Na mapie w skali $1:800\,000$ zajmie zatem $4\cdot700\,000/800\,000=3{,}5$ cm.

Z rysunku $x=4-2=2$ cm. Skoro tym $2$ cm odpowiada $6$ m, to $1$ cm planu odpowiada $3$ m. Brakujący poziomy bok ma $6-3{,}5=2{,}5$ cm, a obwód planu wynosi $6+2+2{,}5+2+3{,}5+4=20$ cm. W rzeczywistości daje to $20\cdot3=60$ m.

Bok kwadratu na planie ma $\sqrt{81}=9$ cm. W rzeczywistości jest to $9\cdot450=4050$ cm, czyli $40{,}5$ m. Obwód działki wynosi $4\cdot40{,}5=162$ m.

Jeśli boki pierwszego wielokąta mają długości $a_1,\ldots,a_n$, to odpowiadające boki drugiego mają $ka_1,\ldots,ka_n$. Jego obwód wynosi więc $ka_1+\cdots+ka_n=k(a_1+\cdots+a_n)$, czyli jest $k$ razy większy.

Złożenie obu podobieństw prowadzi $W_1$ z powrotem na figurę do niego przystającą, więc iloczyn skal wynosi $1$: $k\cdot(k/3)=1$. Stąd $k^2=3$, a skala jest dodatnia.