MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 28

Pierwiastek kwadratowy jest równy $0$ dokładnie wtedy, gdy jego podpierwiastkowa jest równa $0$. Dwa pierwiastki są równe, gdy ich nieujemne podpierwiastkowe są równe.

a) Oba równania dają $x=0$.

b) Równania $x-1=0$ i $1-x=0$ dają $x=1$.

c) Oba równania sprowadzają się do $x^2=1$, więc $x=\pm1$.

d) Z $x-2=2-x$ otrzymujemy $x=2$, a z $x+3=-x+3$ otrzymujemy $x=0$.

e) Pierwsze równanie daje $x^2=4$, czyli $x=\pm2$; drugie daje $x^2=5$, czyli $x=\pm\sqrt5$.

f) Pierwsze równanie daje $(x+2)^2=9$, zatem $x=1$ lub $x=-5$. Drugie daje $(x-3)^2=5$, zatem $x=3-\sqrt5$ lub $x=3+\sqrt5$. W każdym przypadku otrzymane podpierwiastkowe są nieujemne.

Uwzględniamy, że pierwiastek kwadratowy jest nieujemny.

a) $a=2^2=4$.

b) $a+1=9$, więc $a=8$.

c) $2a-1=16$, więc $a=\frac{17}{2}=8{,}5$.

d) $3-a=25$, więc $a=-22$.

e) Prawa strona $1-\sqrt3$ jest ujemna, więc rozwiązania nie ma.

f) Po podniesieniu do kwadratu $a=a^2$; warunek $a\geq0$ daje $a=0$ lub $a=1$.

g) Jednocześnie $a\geq0$ i $-a\geq0$, zatem $a=0$.

h) Dziedzina daje $a\geq1$, a prawa strona musi być nieujemna, czyli $a\leq1$. Stąd $a=1$.

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$.

a) Dla $a\geq4$ mamy $|a-4|=a-4$.

b) Dla $a<3$ mamy $|a-3|=3-a$.

c) Gdy $1\leq a\leq5$, zachodzi $|a-1|+|a-5|=(a-1)+(5-a)=4.$

a) Grupując czynniki pod pierwiastkiem, otrzymujemy

b) Zaczynamy od środka. Za każdym razem $\sqrt{\frac12-\frac14}=\sqrt{\frac14}=\frac12.$ Ta sama wartość pojawia się na każdym z czterech poziomów, więc całe wyrażenie wynosi $\frac12$.

c) Najpierw $1+\frac1{1+\sqrt3}=1+\frac{\sqrt3-1}{2}=\frac{1+\sqrt3}{2}.$ Stąd

Dzielniki naturalne liczby $36$ to $1,2,3,4,6,9,12,18,36$. Suma ich pierwiastków jest równa $12+4\sqrt2+3\sqrt3+\sqrt6.$ Korzystając z nierówności $\sqrt2<2$, $\sqrt3<2$ i $\sqrt6<3$, otrzymujemy $12+4\sqrt2+3\sqrt3+\sqrt6<12+8+6+3=29<36.$

Rozwijamy kwadrat różnicy:

Wynik $5$ jest liczbą naturalną.

Prawa strona jest dodatnia. Jej kwadrat wynosi

Ponieważ $2\sqrt6=\sqrt{24}$, $2\sqrt{10}=\sqrt{40}$ i $2\sqrt{15}=\sqrt{60}$, otrzymujemy dokładnie $10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}$. Pierwiastek kwadratowy z kwadratu dodatniej prawej strony jest równy tej prawej stronie.