MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 286

Od wierzchołka $E$ mamy $EA=13+27=40$ oraz $EB=12+25=37$. Gdyby $DC\parallel AB$, z twierdzenia Talesa musiałoby zachodzić $ED/EA=EC/EB$. Tymczasem $13/40\ne12/37$. Boki $DC$ i $AB$ nie są równoległe, więc czworokąt nie jest trapezem.

Z $PC=\tfrac23AP$ wynika $PC/AC=(2/3)/(1+2/3)=2/5$. Z kolei $BC=2{,}5QC$ daje $QC/BC=1/2{,}5=2/5$. Punkty $P,Q$ dzielą więc boki $CA,CB$ w tym samym stosunku liczonym od $C$. Z odwrotności twierdzenia Talesa $PQ\parallel AB$, zatem $ABQP$ jest trapezem.

Odcinkowi $30$ na pierwszej półprostej odpowiada $BC=20$, więc skala wynosi $2/3$. Stąd $AB=(2/3)\cdot18=12$ i $CD=(2/3)\cdot24=16$. Na trzeciej półprostej odcinkowi $24$ odpowiada $14$, więc cały odcinek $AE$ odpowiada sumie $18+30+24=72$ i ma długość $72\cdot14/24=42$.

Przeciwprostokątna ma długość $14$. Odcinek od punktu podziału do $A$ stanowi $5/7$ przeciwprostokątnej, więc mały trójkąt przy $A$ jest podobny do całego w skali $5/7$ i ma boki $6,8,10$. Jego pole i obwód wynoszą $24$ i $24$.

Pole całego trójkąta to $\tfrac12\cdot11{,}2\cdot8{,}4=47{,}04$, więc pole trapezu wynosi $23{,}04$. Jego boki mają długości $8{,}4$, $3{,}2$, $4$ i $6$, zatem obwód wynosi $21{,}6$.

Mamy $AB=12+5=17$. Z $DF\parallel BC$ trójkąty $ADF$ i $ABC$ są podobne w skali $12/17$, więc $AC=8\cdot17/12=34/3$ oraz $CF=AC-AF=10/3$. Z $DE\parallel AC$ trójkąty $BDE$ i $BAC$ są podobne w skali $5/17$. Ponieważ $BE=6$, mamy $BC=6\cdot17/5=102/5$, a $DF=(12/17)BC=72/5$. Obwód równoległoboku to $2(CF+DF)=2(10/3+72/5)=532/15$.

Ustawmy $A=(0,0)$, $E=(0,8)$, $D=(0,10)$ i $C=(6,8)$. Wtedy $AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Prosta $DC$ ma wektor $(6,-2)$; aby zejść z wysokości $10$ do osi $AB$, trzeba pomnożyć ten wektor przez $5$, więc $B=(30,0)$. Zatem $BE=\sqrt{30^2+8^2}=\sqrt{964}=2\sqrt{241}$.

W trójkącie prostokątnym $CED$ mamy $CD=\sqrt{37^2-35^2}=12$. Trójkąty $ABC$ i $CDE$ są podobne, ponieważ są prostokątne w $C$, a ich przeciwprostokątne leżą na prostych równoległych. Skala większego do mniejszego wynosi $CD/BC=12/6=2$. Stąd $AC=35/2=17{,}5$ i $AB=37/2=18{,}5$.