MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 287

Dla okręgów stycznych do ramion tego samego kąta promień jest proporcjonalny do odległości punktu styczności od wierzchołka. Odpowiednie odległości wynoszą $6\sqrt2$, $12\sqrt2$ i $24\sqrt2$. Skoro ostatniej odpowiada promień $12$, współczynnik wynosi $12/(24\sqrt2)=1/(2\sqrt2)$. Dwa pozostałe promienie to zatem $3$ i $6$.

Ponieważ przekątne są prostopadłe, $P_{ABE}=\tfrac12AE\cdot BE$ i $P_{DCE}=\tfrac12DE\cdot CE$. Równość pól daje $AE/CE=DE/BE$. Kąty $AED$ i $CEB$ są wierzchołkowe, więc z cechy BKB w wersji proporcjonalnej trójkąty $AED$ i $CEB$ są podobne. Odpowiednie kąty przy $A$ i $C$ są równe, co na mocy odwrotności twierdzenia o kątach naprzemianległych daje $AD\parallel BC$.

Przyjmijmy $A=(-1,0)$, $B=(1,0)$, $C=(0,h)$ i $H=(0,0)$. Z $CP:PH=3:1$ mamy $P=(0,h/4)$. Punkt $Q=AP\cap BC$ zapiszmy jako $Q=A+t(P-A)=B+s(C-B)$. Porównanie współrzędnych daje $s=2/5$, więc $BQ:QC=s:(1-s)=2:3$.

We współrzędnych wektorowych przyjmijmy $A=0$, $B=\vec b$, $C=\vec c$. Wtedy $S=(\vec b+\vec c)/2$, a z $AP:PS=1:3$ mamy $P=(\vec b+\vec c)/8$. Prosta przez $P$ równoległa do $AC$ przecina $BC$ w punkcie $Q=(1-u)\vec b+u\vec c$. Porównanie współczynnika przy $\vec b$ daje $1-u=1/8$, więc $u=7/8$. Zatem $BQ:QC=7:1$.

Przyjmijmy $A=0$, $B=\vec b$, $C=\vec c$. Wtedy $P=5\vec b/11$ i $S=(\vec b+\vec c)/2$. Dla punktu $X=CP\cap AS$ porównanie współczynników w równaniu $\vec c+r(5\vec b/11-\vec c)=t(\vec b+\vec c)/2$ daje $r=11/16$ i $t=5/8$. Punkt $X$ dzieli więc medianę w stosunku $AX:XS=t:(1-t)=5:3$.

a) W zapisie wektorowym $A=0$, $B=\vec b$, $D=\vec d$, $C=\vec b+\vec d$, zaś $E=\vec b/2$ i $F=\vec d+\vec b/2$. Rozwiązanie równań prostych $DE$ i $FB$ z przekątną $AC$ daje parametry odpowiednio $1/3$ i $2/3$, więc przekątna jest podzielona na trzy równe części.

b) Niech boki prostokąta mają długości $5$ i $x<5$. Rzut wierzchołka na przekątną wypada w parametrze $x^2/(25+x^2)$. Ma to być $1/3$, więc $3x^2=25+x^2$, skąd $x=5\sqrt2/2$. Pole wynosi $5x=25\sqrt2/2$.