MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 27

Wystarczy w każdym podpunkcie wykazać, że $xy=1$.

a) $xy=\frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt6}{2}=\frac66=1$.

b) Ponieważ $\sqrt{18}=3\sqrt2$ i $\sqrt{24}=2\sqrt6$, $xy=6\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{6\sqrt6}=1.$

c) Mamy $\sqrt{12}=2\sqrt3$ i $\frac{\sqrt{48}}2=2\sqrt3$, więc $x=6\sqrt3$. Zatem $xy=6\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{18}=1.$

d) Czynniki teleskopują:

y^2=\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23=\frac25.$$ Obie liczby są dodatnie i $(xy)^2=1$, więc $xy=1$.

Liczba przeciwna do $u$ to $-u$. Stąd $-(\sqrt3-2)=2-\sqrt3,qquad -(2+\sqrt3)=-\sqrt3-2.$

Pary odwrotne rozpoznajemy po iloczynie równym $1$:

$$(\sqrt3-2)(-\sqrt3-2)=-(3-4)=1,$$ $$(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1.$$

Niech bok kwadratu $ABCD$ ma długość $a$. Kwadrat utworzony przez środki boków ma połowę pola kwadratu wyjściowego, więc $\frac{a^2}{2}=10,$ czyli $a^2=20$.

Ze skanu odczytujemy, że $G$ jest środkiem boku $DC$. Trójkąt $ADG$ jest prostokątny, $AD=a$ i $DG=\frac a2$. Z twierdzenia Pitagorasa $AG^2=a^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac54a^2=25.$

Wystarczy sprawdzić, czy najdłuższy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.

a) Najdłuższy bok to $\sqrt3$. Ponieważ $(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2>3$, mamy $1+\sqrt2>\sqrt3$, więc trójkąt istnieje.

b) Najdłuższy bok to $4$. Zachodzi $(\sqrt3+\sqrt5)^2=8+2\sqrt{15}<16$, bo $\sqrt{15}<4$. Zatem $\sqrt3+\sqrt5<4$ i trójkąt nie istnieje.

Wszystkie liczby są dodatnie, więc można porównywać ich kwadraty.

a) $2^2=4>3$.

b) $(3\sqrt2)^2=18>12=(2\sqrt3)^2$.

c) $(2\sqrt3)^2=12<13$.

d) $(5\sqrt3)^2=75>45=(3\sqrt5)^2$.

e) Porównujemy najpierw liczby pod zewnętrznymi pierwiastkami. Mamy $(4\sqrt3)^2=48<50=(5\sqrt2)^2$.

f) Analogicznie $(5\sqrt3)^2=75>72=(6\sqrt2)^2$.

Upraszczenie pierwiastków w licznikach i mianownikach daje:

a) $\frac{5\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac52$.

b) $\frac{8+3\sqrt2}{\sqrt2}=4\sqrt2+3$.

c) $\frac{3\sqrt3+4\sqrt3}{\sqrt3}=7$.

d) $\frac{10}{3\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{3}$.

e) $\frac{\sqrt5}{2\sqrt5+3\sqrt5}=\frac15$.

f) Mianownik to $5\sqrt6$. Po pomnożeniu przez $\sqrt6$:

=\frac{2\sqrt3+3\sqrt2}{30}.$$

a) Liczba $4+\sqrt3$ jest dodatnia, a jej kwadrat wynosi $16+8\sqrt3+3=19+8\sqrt3.$ Zatem pierwiastek z tego kwadratu jest równy $4+\sqrt3$.

b) Liczba $\sqrt3-1$ jest dodatnia, a

$$(\sqrt3-1)^2=3-2\sqrt3+1=4-2\sqrt3.$$

Stąd zachodzi druga równość.

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$ oraz nierówności $1<\sqrt3<2$.

a) $\sqrt3-2<0$, zatem $2-|\sqrt3-2|=2-(2-\sqrt3)=\sqrt3.$

b) $\sqrt3+2>0$ i $2-\sqrt3>0$, więc $|\sqrt3+2|+|2-\sqrt3|=\sqrt3+2+2-\sqrt3=4.$

W każdym równaniu $x\geq0$. Łączymy pierwiastki i porównujemy nieujemne podpierwiastkowe.

a) $\sqrt{6x}=\sqrt{90}$, więc $6x=90$ i $x=15$.

b) Po podniesieniu do kwadratu $4\cdot50x=200$, zatem $x=1$.

c) $18x=2$, więc $x=\frac19$.

d) $40x=72$, więc $x=\frac95=1{,}8$.