MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 277

Obchodząc pięcioramienną gwiazdę, wykonujemy łącznie obrót $720^\circ$. W każdym wierzchołku kąt skrętu ma miarę $180^\circ-A$, odpowiednio dla pięciu oznaczonych kątów. Zatem

$5\cdot180^\circ-(A+B+C+D+E)=720^\circ.$

Oznaczmy kąty przy podstawie trójkąta $ABC$ przez $\alpha$, a kąt przy $C$ przez $\gamma=180^\circ-2\alpha$. Z $CP=PQ$ wynika $\angle CQP=\gamma$. Z $AB=AQ$ mamy $\angle BQA=\alpha$ i $\angle BAQ=180^\circ-2\alpha$. Stąd w równoramiennym $APQ$ kąty przy podstawie mają $3\alpha-180^\circ$, więc $\angle PQA=540^\circ-6\alpha$. Ponieważ $C,Q,B$ są współliniowe,

$\gamma+(540^\circ-6\alpha)+\alpha=180^\circ.$

Po podstawieniu $\gamma=180^\circ-2\alpha$ dostajemy $7\alpha=540^\circ$.

Drugi kąt ostry trójkąta ma $78^\circ$. Wysokość z wierzchołka kąta prostego tworzy z przyprostokątną kąty równe kątom ostrym trójkąta, czyli $12^\circ$ i $78^\circ$. Dwusieczna tworzy z każdą przyprostokątną $45^\circ$, więc szukany kąt ostry ma $45^\circ-12^\circ$.

a) Kąty $2x,3x,5x$ mają sumę $180^\circ$, więc $x=18^\circ$.

b) Jeśli kąty zewnętrzne mają miary $2x,3x,4x$, to odpowiadające im wewnętrzne mają sumę $3\cdot180^\circ-9x=180^\circ$. Stąd $x=40^\circ$.

Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta wynosi $(n-2)180^\circ$. Dla $n=6$ i $n=8$ podstawiamy odpowiednie wartości.

Dwusieczna daje $\angle BCD=\angle DCE$. Z równoległości $CD\parallel AB$ wynika $\angle BCD=\angle ABC$ oraz $\angle DCE=\angle BAC$. Zatem $\angle ABC=\angle BAC$, a więc przeciwległe im boki są równe: $AC=BC$. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Kąt między dwiema dwusiecznymi przy środku okręgu wpisanego ma miarę $90^\circ+\frac12\gamma$, gdzie $\gamma$ jest trzecim kątem; jego kąt ostry dopełniający ma $90^\circ-\frac12\gamma$.

a) Dla $\gamma=60^\circ$ jest to $60^\circ$.

b) Dla trzeciego kąta $90^\circ$ jest to $45^\circ$.

Ze skanu odczytujemy $\angle CAB=42^\circ$ i $\angle ABC=62^\circ$. Kąty zewnętrzne przy $A$ i $B$ mają odpowiednio $138^\circ$ i $118^\circ$, więc ich dwusieczne tworzą w trójkącie $APB$ kąty $69^\circ$ i $59^\circ$. Stąd

$\angle APB=180^\circ-69^\circ-59^\circ=52^\circ.$

W trójkącie prostokątnym $BCD$ kąt przy $B$ ma $90^\circ-78^\circ=12^\circ$. Ponieważ $A$ leży między $D$ i $B$, jest to także $\angle ABC$. Kąt $ACB$ jest różnicą $78^\circ-25^\circ=53^\circ$. Ostatni kąt ma więc $180^\circ-12^\circ-53^\circ=115^\circ$.