MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 276

W pierwszym trójkącie jeden kąt ma $60^\circ$, a najmniejszy $10^\circ$, więc trzeci ma $110^\circ$. Kąt przyległy przy punkcie cięcia ma zatem $70^\circ$. Drugi kąt przy rozciętym wierzchołku równobocznego trójkąta ma $60^\circ-10^\circ=50^\circ$, a ostatni zachowuje $60^\circ$.

Przy kącie wewnętrznym $\alpha$ są dwa kąty zewnętrzne po $180^\circ-\alpha$. Suma wszystkich sześciu wynosi więc

Na skanie kąt $80^\circ$ leży przy $D$ w trójkącie $ADB$. Kąt przyległy $ADC$ ma zatem $100^\circ$. W trójkącie $ACD$:

$\alpha+30^\circ+100^\circ=180^\circ.$

a) Skan pokazuje $AC\perp CD$. W trójkącie $ACD$ mamy więc $40^\circ+90^\circ+\alpha=180^\circ$, stąd $\alpha=50^\circ$. Kąt $CDB$ ma $130^\circ$. Ponieważ $CD=DB$, oba kąty przy podstawie $CB$ mają po $(180^\circ-130^\circ)/2=25^\circ$.

b) Z $AC=DC$ wynika równość kątów przy $A$ i $D$. W trójkącie $CDB$ kąty $48^\circ$ i $20^\circ$ dają przy $D$ $112^\circ$, więc przyległy kąt $CDA$ ma $68^\circ$. Stąd $\alpha=180^\circ-2\cdot 68^\circ=44^\circ$, a zewnętrzny $\beta=180^\circ-68^\circ=112^\circ$.

Ze skanu odczytujemy $\angle A=80^\circ$, $\angle C=40^\circ$ i $\angle EDB=25^\circ$. Stąd $\angle B=60^\circ$. Ponieważ $DE\parallel AB$, kąt $DEB$ ma $120^\circ$. W trójkącie $DBE$:

$\angle DBE=180^\circ-120^\circ-25^\circ=35^\circ.$

Kąt wewnętrzny przyległy do kąta zewnętrznego $60^\circ$ ma $120^\circ$. Dwa pozostałe kąty mają sumę $60^\circ$. Jeśli mniejszy oznaczymy przez $x$, większy ma $3x$, więc $4x=60^\circ$ i $x=15^\circ$.

Kąt wewnętrzny przyległy do podanego zewnętrznego ma miarę $180^\circ$ pomniejszoną o ten kąt.

a) Otrzymujemy kąt $136^\circ$, który musi być wierzchołkowy; kąty przy podstawie mają po $22^\circ$.

b) Kąt wewnętrzny ma $78^\circ$. Może być wierzchołkowy, dając kąty $51^\circ,51^\circ,78^\circ$, albo kątem przy podstawie, dając $24^\circ,78^\circ,78^\circ$.

Ponieważ $B,S,C$ są współliniowe, $\angle ASB=70^\circ$. W trójkącie $ABS$ trzeci kąt ma $55^\circ$, więc $AS=BS$. Środkowa daje $BS=CS$, zatem $AS=CS$. Trójkąt $ASC$ jest równoramienny z kątem $110^\circ$ przy $S$, więc jego kąty przy $A$ i $C$ mają po $35^\circ$. Kąt przy $A$ całego trójkąta ma $55^\circ+35^\circ=90^\circ$.