MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 278

Niech ostre kąty przy $B,C$ mają miary $\beta,\gamma$, zatem $\beta+\gamma=90^\circ$. Z $AB=PB$ wynika $\angle BAP=90^\circ-\frac\beta2$, więc $\angle PAC=\frac\beta2$. Z kolei $AC=CQ$ daje $\angle CAQ=90^\circ-\frac\gamma2$. Stąd

$\angle PAQ=90^\circ-\frac{\beta+\gamma}{2}=45^\circ.$

Punkt $P$ jest środkiem okręgu opisanego na $ABC$. Kąt środkowy $\angle APB$ oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt wpisany $\angle ACB$ ma miarę $2\cdot58^\circ=116^\circ$. Jest to kąt rozwarty trójkąta $APB$.

Oznaczmy $\angle DBC=\angle BCD=x$, bo $BD=DC$, oraz $\angle ABD=\angle BAD=y$, bo $BD=AD$. Mamy $x+y=115^\circ$. Przekątna $BD$ dzieli kąt $ADC$, więc

W równoległoboku $FE\parallel AB$ i $DE\parallel AC$. Ze skanu $\angle CEF=25^\circ$, więc $\angle ABC=25^\circ$. Także $\angle EDB=70^\circ$, a z $DE\parallel AC$ wynika $\angle CAB=70^\circ$. Trzeci kąt ma $180^\circ-25^\circ-70^\circ$.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają po $(180^\circ-108^\circ)/2=36^\circ$. Dwusieczna kąta przy $A$ daje $\angle BAP=18^\circ$. W trójkącie $ABP$:

$\angle APB=180^\circ-18^\circ-36^\circ=126^\circ.$

Kąty przy podstawie mają po $80^\circ$, więc dwusieczna kąta $A$ tworzy z $AC$ kąt $40^\circ$. Symetralna $AC$ jest do niego prostopadła, czyli tworzy z $AC$ kąt $90^\circ$. Kąt ostry między prostymi ma $90^\circ-40^\circ$.

Dwusieczna musi dzielić kąt $60^\circ$ na dwa kąty po $30^\circ$. Część zawierająca pierwotny kąt $30^\circ$ ma dwa równe kąty i jest równoramienna. W drugiej części pozostają kąty $30^\circ$, $90^\circ$ oraz $60^\circ$ przy punkcie przecięcia.

Trzeci kąt ma $180^\circ-20^\circ-80^\circ=80^\circ$, więc jego dwusieczna tworzy z bokiem kąt $40^\circ$. Wysokość tworzy z tym samym bokiem kąt $90^\circ-20^\circ=70^\circ$. Różnica wynosi $30^\circ$.

Ze skanu odczytujemy położenie dwóch przecinających się odcinków. Kąt przy ich przecięciu w trójkącie zawierającym $x$ jest dopełnieniem sumy $\alpha+\beta$ do $180^\circ$. Z sumy kątów tego trójkąta:

$x+\gamma+[180^\circ-(\alpha+\beta)]=180^\circ,$

więc $x=\alpha+\beta-\gamma=22^\circ+37^\circ-46^\circ$.

Przyjmijmy bok trójkąta równy $1$ i współrzędne $A=(-\frac12,0)$, $B=(\frac12,0)$, $C=(0,\frac{\sqrt3}{2})$. Z konstrukcji zewnętrznych kwadratów otrzymujemy