MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 273

Z równania $3(x+1)-6\sqrt3=0$ mamy $x+1=2\sqrt3$, czyli $x=2\sqrt3-1$.

Prosta $AB$ ma równanie $f(x)=-x+4$. Symetria względem początku zamienia $(x,y)$ na $(-x,-y)$, więc jej obraz ma równanie $g(x)=-f(-x)=-x-4$.

Współczynnik kierunkowy $\frac13$ jest dodatni, zatem funkcja jest rosnąca. Ponadto $f(0)=-1$, więc wykres przecina $OY$ w $(0,-1)$.

Ponieważ $1$ jest miejscem zerowym, funkcję można zapisać jako $f(x)=a(x-1)$. Warunek $f(3)=-2$ daje $2a=-2$, więc $a=-1$.

Rzut punktu $A=(-18,10)$ na prostą $y=3x$, o wektorze kierunkowym $(1,3)$, ma współrzędne

Dla $a\ne-1$ punkt przecięcia spełnia $x-2=5-ax$, więc

$x=\frac7{a+1},\qquad y=x-2=\frac{5-2a}{a+1}.$

Warunek $x>0$ daje $a>-1$, a przy dodatnim mianowniku warunek $y>0$ daje $a<\frac52$. Dla $a=-1$ proste są równoległe.