MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 272

Prosta przez $P$ i $Q$ ma współczynnik $\frac{1-(-1)}{-\sqrt2-\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}$ i przechodzi przez początek układu. Dla $x=4$ otrzymujemy $y=-2\sqrt2$.

Upraszczamy od środka: $2x-(3-3x)=5x-3$, następnie $2-(5x-3)=5-5x$. Stąd $f(x)=1-[x-(5-5x)]=6-6x$, więc współczynnik kierunkowy wynosi $-6$.

Miejsca zerowe mają wartości bezwzględne kolejno $\frac74$, $15$, $\frac7{10}$ i $\frac1{\sqrt2}$. Najmniejsza jest liczba $\frac7{10}$, będąca wartością bezwzględną miejsca zerowego funkcji $h$.

Trójkąt odcięty przez osie jest równoramienny, więc moduły obu wyrazów wolnych na osiach są równe $2\sqrt2$. Ponieważ funkcja jest malejąca i przecina $OY$ poniżej zera, ma wzór $f(x)=-x-2\sqrt2$. Zatem $f(-1)=1-2\sqrt2$.

Prosta $k$ ma postać $y=2x+5$, więc prosta prostopadła musi mieć współczynnik kierunkowy $-\frac12$.

Przekątna $AC$ jest pozioma, ma długość $8$ i środek $(2,1)$. Druga przekątna jest pionowa. Punkt $B$ leży więc na $x=2$ oraz $y=x-3$, czyli $B=(2,-1)$. Druga przekątna ma długość $4$, a pole rombu wynosi $\frac12\cdot8\cdot4=16$.

Współczynniki kierunkowe wynoszą $-\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$ oraz $-\frac{3\sqrt2}{2\sqrt3}$; oba upraszczają się do $-\frac{\sqrt6}{2}$. Wyrazy wolne są różne, więc są to różne proste równoległe.

Wykres przecina $OY$ w $(0,-3)$ i $OX$ w $(-7{,}5,0)$. Dla dodatnich $x$ ma ujemne $y$, a dla dostatecznie ujemnych $x$ dodatnie $y$. Przechodzi więc przez ćwiartki II, III i IV, lecz nie przez I.