MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 271

Punkty przecięcia kolejnych prostych to $A=(1,-7)$, $B=(-3,9)$ i $C=(13,5)$. Prosta $AC$ ma współczynnik kierunkowy $1$, więc wysokość z $B$ ma równanie $y=-x+6$. Środek boku $AC$ to $S=(7,-1)$ i spełnia równanie tej wysokości: $-1=-7+6$. Wysokość z $B$ jest zatem prostopadła do $AC$ i przechodzi przez jego środek, czyli zawiera się w symetralnej $AC$.

a) Punkt przecięcia $k$ i $l$ to $(-3,0)$. Należy on do $m$, gdy $-3p-2=0$, czyli $p=-\frac23$.

b) Punkt przecięcia $k$ i $m$ to $(5,1)$. Warunek przynależności do $l$ ma postać $5-p-5=0$, więc $p=0$.

Punkt $A$, czyli przecięcie prostych $AB$ i $AD$, ma współrzędne $(2,-3)$. Wierzchołek przeciwległy jest jego obrazem w symetrii względem środka $P(1,0)$, więc $C=(0,3)$. Prosta $BC$ jest równoległa do $AD$, a $CD$ do $AB$. Prowadząc przez $C$ proste o odpowiednich współczynnikach, otrzymujemy żądane równania.

Każde równanie sprowadzamy do postaci liniowej; punkt przecięcia dwóch prostych jest zarazem rozwiązaniem graficznym i algebraicznym.

a) Otrzymujemy $x=4y-6$ oraz $2x+y+3=0$, skąd $(x,y)=(-2,1)$.

b) Układ $3x+2y=6$, $x-4y=9$ daje $(x,y)=(3,-\frac32)$.

c) Po redukcji wyrażeń $xy$ mamy $y-2x=4$ i $y+3x+11=0$, skąd $(x,y)=(-3,-2)$.

Punkt przecięcia prostych ma współrzędne

$x=\frac{2m-4}{3},\qquad y=\frac{2m+2}{3}.$

Warunki przynależności do kwadratu to $-1\le x\le4$ oraz $1\le y\le6$. Każdy z nich po podstawieniu prowadzi do $\frac12\le m\le8$.

a) Ponieważ $m^2+3>0$, zawsze $x=\frac{m+3}{m^2+3}$.

b) Dla $m=3$ otrzymujemy $0\cdot x=6$, czyli brak rozwiązań; poza tym $x=\frac{m+3}{m-3}$.

c) Dla $m=-3$ równanie jest tożsamościowe; poza tym $x=1$.

d) Dla $m=3$ brak rozwiązań, dla $m=-3$ nieskończenie wiele, a dla pozostałych $m$ po skróceniu czynnika $m+3$ mamy $x=\frac1{m-3}$.

Warunek $|y-x|\le4$ jest równoważny $x-4\le y\le x+4$. Usunięcie $B\cup C$ pozostawia dodatkowo pas $-4\le x+y\le4$. Szukany zbiór jest przecięciem dwóch domkniętych pasów. Jego wierzchołki otrzymujemy z przecięć prostych brzegowych.

Nierówności dają $y\ge2x-2$, $y\le\frac13x+3$ i $y\ge-x-5$. Ich część wspólna jest trójkątem o wierzchołkach $(3,4)$, $(-6,1)$ i $(-1,-4)$.

a) Liniowa funkcja $3x+4y$ przyjmuje ekstrema w wierzchołkach. Jej wartości to odpowiednio $25$, $-14$ i $-19$.

b) Wartości $2y-x$ w tych punktach wynoszą $5$, $8$ i $-7$.