MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 270

Dana prosta ma postać $y=2x+5$. Odbicie względem $OX$ daje $y=-2x-5$, względem $OY$ daje $y=-2x+5$, a symetria względem początku układu daje $y=2x-5$. Odczytujemy współczynniki przy $x$.

Porównujemy współczynniki kierunkowe, uwzględniając przypadki prostych pionowych.

a) $-\frac m4=1$, więc $m=-4$.

b) $-\frac4m=-m$, więc $m^2=4$ i $m=\pm2$.

c) $-\frac1m=\frac23$, więc $m=-\frac32$.

d) Warunek $|m|=m$ zachodzi dokładnie dla $m\ge0$.

Z $k+m=0$ mamy $m=-k$. Punkty przecięcia prostych z osią $OX$ mają odcięte $-\frac5k$ i $\frac5k$, więc podstawa trójkąta ma długość $\frac{10}{|k|}$, a wysokość $5$. Z warunku pola

$\frac12\cdot\frac{10}{|k|}\cdot5=50$

dostajemy $|k|=\frac12$ i $m=-k$.

Jeśli współczynnik kierunkowy jest niezerowy, funkcja liniowa przyjmuje także wartości ujemne. Musi więc zachodzić $\frac12m-3=0$. Wtedy prosta ma równanie $y=1$ i rzeczywiście nie zawiera punktu z $y<0$.

Przez punkt $A$ prowadzimy prostą o współczynniku będącym przeciwną odwrotnością współczynnika prostej $k$, po czym rozwiązujemy układ z równaniem $k$.

a) $y=-2x+10$ daje $P(2,6)$.

b) Punkt $A$ już leży na $k$, więc nie istnieje różny od $A$ punkt $P$ spełniający warunek.

c) $y=-5x+11$ daje $P(5,-14)$.

d) $y=-\frac43x+16$ daje $P(\frac{192}{25},\frac{144}{25})$.

e) $y=-\frac1{10}x+4$ daje $P(\frac{60}{101},\frac{398}{101})$.

f) $y=x+\sqrt2-\sqrt3$ daje $P(\frac{\sqrt3-\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2-\sqrt3}{2})$.

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi $-1$.

a) $p\cdot\frac3{2p-1}=-1$, skąd $5p=1$ i $p=\frac15$.

b) $-\frac2{p+1}(4p-6)=-1$, skąd $7p=13$ i $p=\frac{13}{7}$.

Obie przekątne mają środek $S(5,4)$. Przekątna $AC$ ma współczynnik $\frac34$, więc jej symetralna ma współczynnik $-\frac43$ i przechodzi przez $S$. Przekątna $BD$ jest pionowa, więc jej symetralna jest pozioma i także przechodzi przez $S$.

Dla $x=-2$ równanie danej prostej daje $y=-\frac52$, więc punkt przecięcia to $(-2,-\frac52)$. Dana prosta ma współczynnik $\frac32$, zatem prostopadła ma współczynnik $-\frac23$. Podstawienie punktu do $y=-\frac23x+b$ daje $b=-\frac{23}{6}$.

Dwie osie zawierają przekątne $AC$ i $BD$. Pozostałe przechodzą przez środek kwadratu $S(1,1)$ i są równoległe do par jego boków. Wyznaczenie równań prostych z odpowiednich dwóch punktów daje cztery równania.

Prosta przecina osie w punktach $(0,5)$ i $(-\frac5a,0)$. Pole trójkąta wynosi

$\frac12\cdot5\cdot\left|\frac5a\right|=25,$

więc $|a|=\frac12$.