MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 269

Zapiszmy $y=ax$. Z tabeli mamy $a(k-1)=6$ i $a(k+4)=12$. Odejmując równania, otrzymujemy $5a=6$, czyli $a=\frac65$. Następnie $k-1=5$, więc $k=6$. Wykres jest prostą przez początek układu, na przykład przez punkty $(0,0)$ i $(5,6)$.

Wyznaczamy punkty przecięcia z osiami przez kolejne podstawienie $y=0$ i $x=0$, a potem stosujemy wzór na odległość punktów.

a) $(4,0)$ i $(0,3)$: długość $5$.

b) $(5,0)$ i $(0,-12)$: długość $13$.

c) $(-8,0)$ i $(0,6)$: długość $10$.

d) $(-\frac35,0)$ i $(0,\frac45)$: długość $1$.

e) $(\sqrt2,0)$ i $(0,-\sqrt7)$: długość $3$.

f) $(-5,0)$ i $(0,3)$: długość $\sqrt{34}$.

Suma dwóch wartości bezwzględnych jest zerem tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami. Warunki $6-3x=0$ i $x^2-4=0$ mają wspólne rozwiązanie $x=2$. Jest ono miejscem zerowym $f$, więc po podstawieniu $x=2$, $y=0$ do równania prostej otrzymujemy

$2k-3k+8=0,$

skąd $k=8$. Równanie $8x+2y-16=0$ po podzieleniu przez $16$ ma żądaną postać.

O monotoniczności decyduje znak współczynnika $a$.

a) $(4m-2)^2=0$ tylko dla $m=\frac12$; poza tą wartością jest dodatni.

b) $1-|m+1|$ jest dodatnie dla $-2<m<0$, równe zero dla $m\in\{-2,0\}$ i ujemne poza przedziałem $[-2,0]$.

c) $3-|2m-1|$ jest dodatnie dla $-1<m<2$, równe zero dla $m\in\{-1,2\}$ i ujemne poza przedziałem $[-1,2]$.

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik przy $x$ jest dodatni. Rozwiązujemy kolejno: $2k-5>0$, $3-k>0$, $4-2k>0$ oraz $k+2>0$.

a) Współczynnik prostej $AB$ to $\frac{5-m}{2-3}=m-5$, więc jest ujemny dla $m<5$.

b) Współczynnik wynosi $\frac{6-2|m|}{7-5}=3-|m|$. Jest ujemny, gdy $|m|>3$.

Sprowadzamy równania do postaci kierunkowej. Prosta równoległa ma ten sam współczynnik, a prostopadła do prostej o współczynniku $-2$ ma współczynnik $\frac12$. Dla dwóch punktów stosujemy iloraz różnic współrzędnych; prosta równoległa do $OX$ ma współczynnik zero.

W równaniu $Ax+By+C=0$ prosta pozioma ma $A=0$, $B\ne0$, a pionowa ma $B=0$, $A\ne0$. Tutaj $A=m^2$ i $B=m-1$. Stąd odpowiednio $m=0$ oraz $m=1$.