MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 26

Wszystkie liczby są nieujemne, więc możemy porównać ich kwadraty. Włączamy też współczynniki pod pierwiastek:

$2\sqrt5=\sqrt{20}$, $5\sqrt2=\sqrt{50}$, $\sqrt{\frac25}=\sqrt{0,4}$.

Porządek liczb pod pierwiastkami jest następujący:

$0,25<0,4<2,5<20<25<50$.

Pole trójkąta obliczone z boku $AB$ i odpowiedniej wysokości wynosi

$P=\frac12\cdot4\sqrt5\cdot3\sqrt5=30$.

Jeżeli $h$ jest wysokością opuszczoną na $AC$, to

$30=\frac12\cdot5\sqrt2\cdot h$,

stąd $h=\frac{60}{5\sqrt2}=6\sqrt2$.

Rozwijamy iloczyny i redukujemy wyrazy podobne.

a) $4\sqrt5+12-10-6\sqrt5=2-2\sqrt5$.

b) $12\sqrt2-12\sqrt3+12\sqrt3-18\sqrt2=-6\sqrt2$.

c) $27\sqrt3+18\sqrt5-18\sqrt5-20\sqrt3=7\sqrt3$.

d) $10\sqrt2+6\sqrt5-2\sqrt5-3\sqrt2=7\sqrt2+4\sqrt5$.

Wyłączamy kwadraty spod pierwiastków i skracamy wspólny czynnik.

a) $\frac{2\sqrt3+5\sqrt3}{\sqrt3}=7$.

b) $\frac{12\sqrt5-4\sqrt5}{\sqrt5}=8$.

c) $\frac{2\sqrt2+4\sqrt2}{\sqrt2}=6$.

d) $\frac{2\sqrt3+3\sqrt3+7\sqrt3}{\sqrt3}=12$.

e) $\frac{2\sqrt7+4\sqrt7}{2\sqrt7}=3$.

f) $\frac{4\sqrt5+10\sqrt5-10\sqrt5}{4\sqrt5}=1$.

Sprowadzamy pierwiastki w liczniku i mianowniku do wspólnych czynników.

a) $\frac{3\sqrt3+8\sqrt3-6\sqrt3}{5\sqrt3}=1$.

b) $\frac{12\sqrt{11}-4\sqrt{11}}{5\sqrt{11}}=\frac85$.

c) $\frac{9\sqrt5+12\sqrt5}{3\sqrt5}=7$.

d) $\frac{\sqrt3(\sqrt5-2)}{\sqrt5-2}=\sqrt3$.

e) $\frac{2\sqrt7+5\sqrt7}{10\sqrt7-3\sqrt7}=1$.

f) Ponieważ $(\sqrt3+\sqrt2)(5-2\sqrt6)=\sqrt3-\sqrt2$, licznik i mianownik są równe, więc iloraz wynosi $1$.

Odwracamy każdą liczbę i usuwamy niewymierność z mianownika.

a) $\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$.

b) $\frac1{3\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{18}$.

c) $\frac1{\sqrt2/3}=\frac3{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}$.

d) $\frac1{\sqrt{2/3}}=\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2}$.

e) $\frac1{3\sqrt2/4}=\frac4{3\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{3}$.

f) $\frac1{2\sqrt{10}/5}=\frac5{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}4$.

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$.

a) $\sqrt{50}-7=5\sqrt2-7>0$, więc wynik to $5\sqrt2-7$.

b) $\sqrt{20}-5=2\sqrt5-5<0$, więc wynik to $5-2\sqrt5$.

c) $|-\sqrt9|=3$.

d) $\sqrt6-\sqrt2-\sqrt3<0$, więc wartość bezwzględna wynosi $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt6$.

Upraszczamy obie strony każdej równości.

a) $\sqrt8+\sqrt{32}=2\sqrt2+4\sqrt2=6\sqrt2$, a $\sqrt2+\sqrt{50}=\sqrt2+5\sqrt2=6\sqrt2$.

b) Obie strony są równe $10\sqrt5$.

c) Obie strony są równe $9\sqrt3$.

d) Obie strony są równe $5\sqrt{17}$.

W każdym podpunkcie lewa i prawa strona mają tę samą uproszczoną postać, co kończy dowód.

Upraszczamy obie liczby w każdej parze.

a) $\sqrt{18}-5\sqrt2=-2\sqrt2$, a $\sqrt{50}-3\sqrt2=2\sqrt2$.

b) $\sqrt3-\sqrt{27}=-2\sqrt3$, a $\sqrt{147}-5\sqrt3=2\sqrt3$.

c) $\frac{2-2\sqrt2}{\sqrt2}=\sqrt2-2$, a $\sqrt2(\sqrt2-1)=2-\sqrt2$.

d) $\frac{1-\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}-1$, a $-\frac{\sqrt3}{3}+1=1-\frac{\sqrt3}{3}$.

W każdej parze suma uproszczonych liczb jest równa $0$.