MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 268

Dla każdych dwóch punktów liczymy $a=\frac{y_R-y_P}{x_R-x_P}$, a potem wyznaczamy wyraz wolny.

a) $a=-\frac72$, zatem $y=-\frac72x$ i $7x+2y=0$.

b) $a=1$, zatem $y=x-\frac14$ i $4x-4y-1=0$.

c) Po użyciu $\sqrt8=2\sqrt2$ mamy $a=-4$, więc $y=-4x+16\sqrt2$ i $4x+y-16\sqrt2=0$.

d) $a=\frac12$, a podstawienie punktu $P$ daje $b=\frac12(1+3\sqrt2)$. Stąd $y=\frac12x+\frac12(1+3\sqrt2)$ i $x-2y+1+3\sqrt2=0$.

Funkcja ma postać $f(x)=-\frac54x+b$. Z warunku $f(6)=-2$:

$-2=-\frac54\cdot6+b,$

więc $b=\frac{11}{2}$. Dobieramy trzy argumenty i obliczamy wartości.

W każdym podpunkcie podstawiamy współrzędne punktu $A$ do równania prostej.

a) $24-2m+1=0$, więc $m=12{,}5$.

b) $3(2m-1)-20+5=0$, więc $m=3$.

c) $2(m-3)-3(m+4)+6=0$, więc $m=-12$.

d) $m-3+5=0$, więc $m=-2$.

e) $0{,}8m+0{,}4(3m-1)-0{,}5=0$, więc $m=0{,}45$.

f) $4m^2-6+6=0$, więc $m=0$.

Z równań $x=t-1$ i $y=t+1$ eliminujemy parametr:

$t=x+1,\qquad y=x+2.$

Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę otrzymujemy postać ogólną.

Sprowadzamy równania do postaci $y=ax+b$ i porównujemy współczynniki kierunkowe.

a) Pierwsza i trzecia prosta mają $a=-\frac13$.

b) Druga i trzecia prosta mają $a=-2$.

c) Pierwsza i trzecia prosta mają $a=\frac{\sqrt3}{3}$.

Prosta $k$ przechodzi przez $(-2,0)$ i $(0,5)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $\frac52$. Prosta równoległa przechodząca przez $Q(0,7)$ ma równanie $g(x)=\frac52x+7$. Z równania $g(x)=0$ dostajemy $x=-\frac{14}{5}$.

a) Dwie różne funkcje liniowe mają punkt wspólny wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są różne. Stąd $k\ne-2$.

b) Dla każdego $k$ wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,-2)$, którego druga współrzędna jest ujemna.

Dla proporcjonalności $y=ax$ iloraz $y/x$ musi być stały. Tutaj