MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 267

Niech $K(x)=ax+b$. Z podanych kosztów:

$a=\frac{104\,000-70\,000}{240-160}=425,$

a następnie $70\,000=425\cdot160+b$, więc $b=2000$. Dla $x=180$:

$K(180)=425\cdot180+2000=78\,500\ \text{zł}.$

a) Przy $60$ minutach plan oszczędny kosztuje $30+0{,}4(60-20)=46$ zł, a ekonomiczny $60$ zł. Dla $n>75$ oba koszty mają postać $0{,}4n+22$ oraz $0{,}2n+45$. Plan ekonomiczny jest tańszy, gdy

$0{,}2n+45<0{,}4n+22,$

czyli $n>115$.

b) Do $75$ minut opłata ekonomiczna jest stała, a potem dolicza się $0{,}20$ zł za każdą następną minutę.

Oznaczmy prędkości turysty i samochodu przez $v$ i $u$ w km/h. Pierwsze spotkanie nastąpiło po $1\frac14$ h marszu i $\frac14$ h jazdy, zatem

\frac54v+\frac14u=15,\qquad 5v+u=60.\tag{1}

Po pierwszym spotkaniu samochód miał do Zwardonia drogę $\frac54v$. W ciągu następnych $\frac56$ h zdążył ją przejechać, stać $\frac12$ h i wrócić do miejsca drugiego spotkania. Jego odległość od Zwardonia przy drugim spotkaniu była więc

=\frac u3-\frac54v.$$ Turysta był wtedy w odległości $v(\frac54+\frac56)=\frac{25}{12}v$. Po zrównaniu tych odległości otrzymujemy $u=10v$. Z (1) wynika $v=4$ km/h, więc czas całej drogi to $15:4=3\frac34$ h.

Niech $t$ oznacza liczbę minut po 15.00. Wskazówka minutowa obraca się o $6t^\circ$, a godzinowa znajduje się pod kątem $(90+0{,}5t)^\circ$ od godziny 12. Na przedziale $0\le t\le30$ miara mniejszego kąta jest więc równa

$f(t)=\left|90-\frac{11}{2}t\right|.$

Wykres składa się z odcinków łączących punkty $(0,90)$, $(\frac{180}{11},0)$ i $(30,75)$. Miejsce zerowe spełnia $90-\frac{11}{2}t=0$, zatem $t=\frac{180}{11}$ min.