MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 263

a) Dla $a\le0$ nierówność $|x-1|\ge a$ jest prawdziwa dla każdego $x$. Dla $a>0$ rozwiązaniem jest $x\le1-a$ lub $x\ge1+a$.

b) Dla $a\le0$ nierówność $|x+5|<a$ jest sprzeczna; dla $a>0$ daje $-5-a<x<-5+a$.

c) Dla $a\le0$ brak rozwiązań. Dla $0<a<1$ powstają dwa rozłączne przedziały wokół $-1$ i $1$; dla $a=1$ przedziały $(-2,0)$ i $(0,2)$; dla $a>1$ jeden przedział $(-1-a,1+a)$.

Część wspólna warunków $x>2$ i $x>a$ ma postać $(\max(2,a),\infty).$ Aby otrzymać $(3,\infty)$, trzeba mieć $a=3$. Przedział $(2,\infty)$ powstaje dla każdego $a\le2$. Ponieważ obie nierówności są ostre, część wspólna nigdy nie zawiera lewego końca, więc nie może być żadnym z przedziałów domkniętych z c) ani d).

Badamy, czy dolna granica może być mniejsza od górnej (z uwzględnieniem ostrych końców).

a) $a<x<5$ jest puste dla $a\ge5$. b) $a\le x\le1$ jest puste dla $a>1$. c) $a<x\le-3$ jest puste dla $a\ge-3$. d) $8\le x\le a$ jest puste dla $a<8$.

W każdym układzie przecinamy odpowiednie półproste.

a) Dla $a\le-1$ otrzymujemy $(-1,\infty)$, a dla $a>-1$ — $(a,\infty)$. b) Dla $a\le-1$ zbiór jest pusty, a dla $a>-1$ wynosi $(-1,a)$. c) Dla $a<-1$ wynosi $(a,-1)$, a dla $a\ge-1$ jest pusty. d) Dla $a<-1$ jest pusty, dla $a=-1$ to $\{-1\}$, a dla $a>-1$ — $[-1,a]$.

Dziedziną ma być $\mathbb R$, więc mianownik nie może mieć żadnego zera rzeczywistego.

a) $x^2-a=0$ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $a\ge0$, zatem potrzeba $a<0$. b) $|x|+a=0$ ma rozwiązanie dla $a\le0$, więc potrzeba $a>0$. c) $|x+1|-a=0$ ma rozwiązanie dla $a\ge0$, więc potrzeba $a<0$. d) $x^2+2x+a=(x+1)^2+a-1$ jest zawsze dodatnie dokładnie dla $a>1$.

Pierwszy pierwiastek wymaga $x\ge2$. Drugi daje $ax+4\ge0$. Dla $a\ge0$ część wspólna jest półprostą, więc przedziałem nieograniczonym. Dla $a<0$ drugi warunek ma postać $x\le-4/a$, zatem dziedzina to $[2,-4/a]$, o ile prawy koniec nie jest mniejszy od $2$. Dla $-2<a<0$ jest to niezerowy przedział domknięty, dla $a=-2$ singleton $\{2\}$, a dla $a<-2$ zbiór pusty.

a) Warunek $1-ax\ge0$: dla $a<0$ po podzieleniu przez liczbę ujemną daje $x\ge1/a$; dla $a=0$ jest zawsze prawdziwy; dla $a>0$ daje $x\le1/a$.

b) Warunek $1-a|x|\ge0$. Dla $a\le0$ jest prawdziwy dla każdego $x$. Dla $a>0$ otrzymujemy $|x|\le1/a$, czyli $-1/a\le x\le1/a$.

Sprowadzamy każdy układ do przecięcia przedziałów i wymagamy, by było ono niepuste.

a) $x\ge\frac92$ oraz $x\le\frac a2$, więc $a\ge9$. b) $x<\frac13$ oraz $x\ge\frac{a+5}{2}$; z powodu ostrego górnego końca potrzeba $\frac{a+5}{2}<\frac13$, czyli $a<-\frac{13}{3}$. c) Warunki dają $x<8$, $x<2a+7$ i $x>0$; rozwiązanie istnieje, gdy $2a+7>0$, czyli $a>-\frac72$. d) Mamy $x>\frac{a+3}{2}$ i $x<a+3$; przedział jest niepusty dla $a>-3$.