MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 262

a) Odległość $|x-2|$ od punktu $2$ jest nieujemna: liczba rozwiązań to $0,1,2$ odpowiednio dla $m<0,m=0,m>0$.

b) $|x-m|=4$ zawsze daje dwa różne rozwiązania $m\pm4$.

c) Funkcja $|x+4|+x$ jest równa $-4$ dla $x\le-4$ i $2x+4$ dla $x>-4$. Stąd $0$ rozwiązań dla $m<-4$, nieskończenie wiele dla $m=-4$ i jedno dla $m>-4$.

d) Dla $m<0$ brak rozwiązań; dla $m=0$ są dwa; dla $0<m<3$ cztery; dla $m=3$ trzy; dla $m>3$ dwa.

Dla $a\ne0$ oznaczmy $r=-\frac ba$. Przy $a>0$ dzielenie nie zmienia znaku nierówności, a przy $a<0$ go odwraca. Gdy $a=0$, wyrażenie $ax+b$ jest stałe i wystarczy porównać $b$ z zerem. Otrzymujemy pełną tabelę opisaną w odpowiedzi.

Rozpisujemy $|x+1|$ na dwie gałęzie albo przecinamy ich wykresy z odpowiednimi prostymi poziomymi i ukośnymi.

a) Liczba rozwiązań wynosi $0$, nieskończenie wiele, $1$ dla $a<-3$, $a=-3$, $a>-3$. b) Wynosi $0$, $1$, $2$ dla $a<-2$, $a=-2$, $a>-2$. c) Wynosi $0$, nieskończenie wiele, $1$ dla $a<3$, $a=3$, $a>3$. d) Dwie gałęzie dają łącznie dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego $a$.

a) Dla $a=0$ nierówność jest sprzeczna; dla $a>0$ mamy $x\ge1/a$, a dla $a<0$ $x\le1/a$.

b) $a(x-2)\le0$: dla $a=0$ rozwiązaniem jest $\mathbb R$, dla $a>0$ $x\le2$, dla $a<0$ $x\ge2$.

c) $(1-a)(x+1)<0$: dla $a=1$ brak rozwiązań, dla $a>1$ $x>-1$, dla $a<1$ $x<-1$.

d) Po faktoryzacji $(a-2)(a+2)x>a-2$. Dla $a=2$ brak rozwiązań, dla $a=-2$ wszystkie liczby; dla $-2<a<2$ $x<1/(a+2)$, a dla $a<-2$ lub $a>2$ $x>1/(a+2)$.

Przekształcamy nierówność do $(2-b)x>a-1.$ Gdy $b<2$, współczynnik jest dodatni i $x>\frac{a-1}{2-b}$. Gdy $b>2$, współczynnik jest ujemny, więc $x<\frac{a-1}{2-b}$. Dla $b=2$ zostaje $0>a-1$: jeśli $a<1$, rozwiązaniem jest $\mathbb R$, a jeśli $a\ge1$ — zbiór pusty.

Oznaczmy $u=|x+3|\ge0$. Równanie $|u-k|=1$ daje poziomy $u=k-1$ i $u=k+1$. Każdy poziom dodatni odpowiada dwóm wartościom $x$, poziom zerowy jednej, a ujemny żadnej. Dlatego dla $k>1$ są cztery rozwiązania, dla $-1<k<1$ dwa, dla $k=1$ trzy, a dla $k<-1$ żadnego.

a) Lewa strona jest nieujemna, więc $|x+2|<3-m$ jest sprzeczna dokładnie dla $3-m\le0$, czyli $m\ge3$.

b) Jeśli $m\le0$, lewa strona $m|x-4|\le0$ nie może być większa od $2$; dla $m>0$ rozwiązania istnieją.

c) Minimum $|x-1|-3$ wynosi $-3$, lecz nierówność jest ostra; brak rozwiązań dla $m\le-3$.

d) Wyrażenie $2|x+1|+3$ jest nieograniczone z góry, więc dla każdego $m$ istnieją rozwiązania; brak parametru dającego sprzeczność.