MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 261

W każdym równaniu osobno badamy znikanie współczynnika przy $x$.

a) $a(x-1)=0$: dla $a=0$ każda liczba, dla $a\ne0$ $x=1$. b) $a(x-a)=0$: dla $a=0$ każda liczba, w przeciwnym razie $x=a$. c) $(a-1)(x-a-1)=0$: dla $a=1$ każda liczba, poza tym $x=a+1$. d) $(2a-4)x=9-3a$: dla $a=2$ otrzymujemy $0x=3$, czyli brak rozwiązań; poza tym $x=\frac{3a-9}{4-2a}$.

Po przeniesieniu wszystkich składników równanie ma być tożsamością, zatem współczynnik przy $x$ i wyraz stały muszą osobno wynosić zero.

a) $(m-3)x=n+2$: $m=3,n=-2$. b) $(m+1)x=n-4$: $m=-1,n=4$. c) $(m+n)x+(-m+4n-2)=0$: rozwiązanie układu daje $m=-\frac25,n=\frac25$. d) $(2-m-n)x+(-5+2n)=0$: $n=\frac52,m=-\frac12$.

Równanie jest sprzeczne, gdy po redukcji ma postać $0x=c$ z $c\ne0$.

a) $(a-3)x=b+2$: trzeba mieć $a=3$ oraz $b+2\ne0$, czyli $b\ne-2$.

b) Po przeniesieniu $(a+2)x=b+4$. Zerowy współczynnik wymaga $a=-2$, a sprzeczność dodatkowo $b+4\ne0$, czyli $b\ne-4$.

a) Nierówność $2x-6<a$ jest równoważna $x<\frac{a+6}{2}$. Aby prawym końcem rozwiązania była liczba $3$, musi zachodzić $\frac{a+6}{2}=3$, stąd $a=0$.

b) Z $x+a\ge4$ mamy $x\ge4-a$. Porównanie z przedziałem $[-2,\infty)$ daje $4-a=-2$, czyli $a=6$.

Pierwsza nierówność daje $x\ge\frac{2a-1}{6},$ a druga $x>\frac a4$. Aby pierwszy przedział zawierał się w drugim, jego lewy, należący do niego koniec musi leżeć ściśle na prawo od $\frac a4$: $\frac{2a-1}{6}>\frac a4.$ Po pomnożeniu przez $12$ otrzymujemy $4a-2>3a$, zatem $a>2$.

Rozwiązujemy równanie: $5x-2a=6x-22,$ zatem $x=22-2a$. a) Warunek $x>0$ daje $22-2a>0$, czyli $a<11$. b) Warunek $x<4$ daje $22-2a<4$, czyli $a>9$.

Po uporządkowaniu mamy $(a+1)x=a(a+1).$ Dla $a=-1$ powstaje tożsamość, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. Dla $a\ne-1$ jedynym rozwiązaniem jest $x=a$. Ma być ono ujemne, czyli $a<0$, przy jednoczesnym wykluczeniu $a=-1$.

Z równania $\frac{2x}{3}=a+\frac16$ otrzymujemy $x=\frac{6a+1}{4}$. Wymagamy $-2<\frac{6a+1}{4}<3.$ Po pomnożeniu przez $4$ i odjęciu $1$ mamy $-9<6a<11$, a więc $-\frac32<a<\frac{11}{6}.$

a) Dla $a\ne0$ mamy $x=1+\frac3a$. Liczba ta jest całkowita wtedy, gdy całkowite $a$ dzieli $3$, czyli $a\in\{-3,-1,1,3\}$. Dla $a=0$ równanie jest sprzeczne.

b) Dla $a\ne-1$ mamy $x=2-\frac3{a+1}$. Potrzeba więc $a+1\in\{-3,-1,1,3\}$, skąd $a\in\{-4,-2,0,2\}$. Dla $a=-1$ równanie jest sprzeczne.

Mamy $A=(-\infty,-3)$ oraz $B=(-\infty,a]$. Oba zbiory są lewymi półprostymi. Jeśli $a<-3$, zbiór $B$ mieści się w $A$, więc suma to $(-\infty,-3)$. Gdy $a\ge-3$, zbiór $B$ sięga co najmniej do $-3$ i zawiera swój prawy koniec, zatem suma wynosi $(-\infty,a]$.

a) Równanie $|x|=m$ ma: zero rozwiązań dla $m<0$, jedno $x=0$ dla $m=0$ i dwa $x=\pm m$ dla $m>0$.

b) Dla $x\ge0$ mamy $x=mx$, a dla $x<0$ $-x=mx$. Zawsze rozwiązaniem jest $0$; dla $m=1$ dochodzi cała półprosta $[0,\infty)$, a dla $m=-1$ — $(-\infty,0]$.

c) Dla $m=-1$ brak rozwiązań, dla $m=1$ rozwiązaniem jest $\mathbb R$. Poza tym $x=\frac1{m+1}$ dla $|m|>1$ i $x=-\frac1{m+1}$ dla $-1<m<1$.

d) Sprowadzamy do $|x-1|=m+2$: dla $m<-2$ brak rozwiązań, dla $m=-2$ $x=1$, a dla $m>-2$ $x=-m-1$ lub $x=m+3$.