MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 260

Porządkujemy równanie: $4x-2m=2x+2m-2,$ więc $2x=4m-2$.

a) Gdy niewiadomą jest $x$, dzielimy przez $2$ i otrzymujemy $x=2m-1$ dla każdego $m$.

b) Gdy niewiadomą jest $m$, przenosimy składniki: $4m=2x+2$, zatem $m=\frac{x+1}{2}$ dla każdego $x$.

Równanie liniowe $ax+b=0$ ma jedno rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy współczynnik przy $x$ jest niezerowy. Jeśli $a=0$, pozostaje zdanie $b=0$: prawdziwe dla każdego $x$, gdy $b=0$, albo fałszywe dla każdego $x$, gdy $b\ne0$.

Równanie zapisujemy jako $(a^2-1)x=a-1,$ czyli $(a-1)(a+1)x=a-1$. Dla $a=-1$ lewa strona ma zerowy współczynnik, a prawa wynosi $-2$, więc równanie jest sprzeczne. Dla $a=1$ otrzymujemy tożsamość $0=0$. Poza $a=\pm1$ istnieje jedno rozwiązanie $x=\frac1{a+1}.$ Jest ono ujemne dokładnie dla $a<-1$.

Podstawiamy zadaną wartość $x$ bezpośrednio do $2ax+5=2x$.

a) Dla $x=-1$: $-2a+5=-2$, więc $a=\frac72$.

b) Dla $x=5$: $10a+5=10$, więc $a=\frac12$. Dla obu parametrów współczynnik równania przy $x$ jest niezerowy, zatem wskazana liczba jest jego jedynym rozwiązaniem.

Sprowadzamy każde równanie do postaci $Ax=B$ i wymagamy $A\ne0$.

a) $mx=3-m$: $m\ne0$, $x=\frac{3-m}{m}$.

b) $(m-1)x=m-2$: $m\ne1$, $x=\frac{m-2}{m-1}$.

c) Po rozwinięciu mamy $(4m-1)x=-(m+3)$, więc $m\ne\frac14$ i $x=\frac{m+3}{1-4m}$.

d) $2x=m$, zatem dla każdego $m$ jedynym rozwiązaniem jest $x=\frac m2$.

Równanie liniowe jest tożsamościowe, gdy po przeniesieniu stron jednocześnie zerują się współczynnik przy $x$ i wyraz wolny.

a) $(p^2-9)x=p-3$, więc oba wyrażenia zerują się dla $p=3$ (dla $p=-3$ prawa strona nie znika). b) Współczynnik przy $x$ jest stale równy $8$, więc brak takiego $p$. c) $(p^2+2p)x=p$; oba człony znikają tylko dla $p=0$. d) Po skróceniu $x^2-2x$ pozostaje $p-4=1$, zatem $p=5$.