MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 259

Przepisujemy wartości bezwzględne i alternatywy na warunki geometryczne:

a) $-3\le x\le3$ i $y\ge x-2$; b) $-2\le y\le2$ i $x\ge y-2$; c) $x\le-2$ oraz $x\le y\le-x$; d) punkt $(0,0)$ wraz z kątem $x\ge2$, $-x\le y\le x$; e) prostokąt $[-2,6]\times[-4,2]$; f) $x\ge0$ i $\max(x-2,2-x)\le y\le x+2$.

a) Iloczyn $(2y-x)(y+2x)\le0$ ma znak niedodatni wtedy, gdy czynniki mają przeciwne znaki albo któryś jest zerem. Daje to dwa domknięte, przeciwległe kąty między prostymi $y=\frac12x$ i $y=-2x$.

b) Podstawmy $t=x+y$. Nierówność $t^2-t>0$ ma rozwiązanie $t<0$ lub $t>1$, czyli $x+y<0$ albo $x+y>1$. Jest to obszar poza otwartym pasem pomiędzy prostymi $x+y=0$ i $x+y=1$.

Niech $A=\{|y-x|\le2\}$, $B=\{|x|\le2\}$ i $C=\{0\le y\le4\}$. Z definicji działań na zbiorach:

a) $A\cap B\cap C$; b) $(B\cap C)\setminus A$; c) $A\setminus(B\cup C)$; d) $(A\cap C)\setminus B$; e) $B\setminus(A\cap C)$; f) $(B\cup C)\setminus A$. Po zapisaniu dopełnień otrzymujemy warunki podane w odpowiedzi.

a) Warunek $|x|\le m$ wyznacza pionowy pas szerokości $2m$, a $|x+y|\le2$ ogranicza dla każdego ustalonego $x$ odcinek pionowy długości $4$. Pole równoległoboku jest więc równe $2m\cdot4=8m$.

b) Warunek $|y-2|\le2$ daje poziomy pas $0\le y\le4$ o wysokości $4$. Dla ustalonego $y$ nierówność $|y-x|\le m$ daje odcinek od $x=y-m$ do $x=y+m$, długości $2m$. Także tutaj pole wynosi $8m$.

W obu podpunktach $8m=24$, zatem $m=3$.

Niech $z$ oznacza liczbę zadań zamkniętych, a $o$ — otwartych. Liczby te są całkowite i spełniają $z+o<15,\qquad o\ge7,\qquad 2z>o+6.$ Ponieważ $o\ge7$, z pierwszego warunku mamy $z\le7$. Z trzeciego natomiast $2z>13$, więc $z\ge7$. Stąd $z=7$. Wtedy $7+o<15$ daje $o\le7$, a razem z $o\ge7$ otrzymujemy $o=7$. Sprawdzenie: $14<15$ oraz $14>13$.

a) Warunki na wartości bezwzględne rozdzielają obie współrzędne na dwa przedziały: $x\in[-4,-1]\cup[1,4],\qquad y\in[-4,-2]\cup[2,4].$ Iloczyn tych sum daje cztery domknięte prostokąty.

b) Wprowadzamy $u=x+y$ i $v=x-y$. Otrzymujemy $u\in[-6,-2]\cup[2,6],\qquad v\in[-4,-2]\cup[2,4].$ Po powrocie do układu $(x,y)$ cztery prostokąty w układzie $(u,v)$ stają się czterema domkniętymi równoległobokami.