MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 25

a) $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{0,16}=0,4$, $\sqrt{11\frac19}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}$.

b) $\sqrt{16+9}=5$, $\sqrt{16}+\sqrt9=4+3=7$, $\sqrt{16}\sqrt9=12$.

c) $\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt9=3$. W drugim wyrażeniu liczymy od środka: $\sqrt4=2$, $\sqrt{8\cdot2}=4$, więc $\sqrt{16\cdot4}=8$.

d) Analogicznie otrzymujemy $\sqrt{2+\sqrt4}=2$ oraz $\sqrt{2-\sqrt4}=0$.

Dla $c\ge0$ korzystamy z równości $c\sqrt d=\sqrt{c^2d}$.

a) $4\sqrt{1,5}=\sqrt{16\cdot1,5}=\sqrt{24}$.

b) $0,2\sqrt{20}=\sqrt{0,04\cdot20}=\sqrt{0,8}$.

c) $\frac13\sqrt{18}=\sqrt{\frac19\cdot18}=\sqrt2$.

d) $0,75\sqrt8=\sqrt{0,5625\cdot8}=\sqrt{4,5}$.

e) $1,2\sqrt{10}=\sqrt{1,44\cdot10}=\sqrt{14,4}$.

W każdym podpierwiastkowym iloczynie wydzielamy największy kwadrat, na przykład $63=9\cdot7$ i $1152=576\cdot2$. Otrzymujemy kolejno:

$\sqrt{9\cdot7}=3\sqrt7$, $\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt5$, $\sqrt{4\cdot33}=2\sqrt{33}$, $\sqrt{49\cdot2}=7\sqrt2$,

$\sqrt{9\cdot31}=3\sqrt{31}$, $\sqrt{121\cdot5}=11\sqrt5$, $\sqrt{81\cdot5}=9\sqrt5$, $\sqrt{121\cdot7}=11\sqrt7$,

$\sqrt{169\cdot6}=13\sqrt6$, $\sqrt{576\cdot2}=24\sqrt2$.

Łączymy czynniki pod jednym pierwiastkiem.

a) $\sqrt{36\cdot121}=66$, $\sqrt{0,36\cdot196}=8,4$, $\sqrt{4\cdot\frac49\cdot0,0016}=\frac4{75}$.

b) $\sqrt{27\cdot12}=\sqrt{324}=18$, $\sqrt{45\cdot20}=30$, $\sqrt{21\cdot33\cdot77}=\sqrt{53361}=231$.

c) $\sqrt{2\cdot5\cdot10}=10$, $\sqrt{\frac{162}{6\cdot27}}=1$, $\sqrt{\frac{20\cdot6}{40\cdot27}}=\frac13$.

a) $\sqrt{225}-\sqrt{25}=15-5=10$.

b) $\sqrt{196}-\sqrt{169}=14-13=1$.

c) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}}=\sqrt4=2$.

d) $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{20}}=\sqrt{10}$.

Sprowadzamy pierwiastki do wspólnego czynnika.

a) $(4\sqrt3-3\sqrt3+5\sqrt3)\sqrt2=6\sqrt6$.

b) $(4\sqrt{15}+6\sqrt{15}-3\sqrt{15})\,2\sqrt3=7\sqrt{15}\,2\sqrt3=42\sqrt5$.

c) $(11\sqrt6+4\sqrt6-5\sqrt6):(3\sqrt2)=\frac{10}{3}\sqrt3$.

d) $(2\sqrt{10}-3\sqrt{10}+6\sqrt{10}):(5\sqrt5)=\sqrt2$.

Obliczamy obie strony każdej równości.

a) $\sqrt{72}:\sqrt2=\sqrt{36}=6$ i $\sqrt{18}\sqrt2=\sqrt{36}=6$ — prawda.

b) $\sqrt{1000}\sqrt{0,1}=\sqrt{100}=10$, a $(\sqrt{100})^2=100$ — fałsz.

c) Lewa strona to $\sqrt{\frac49\cdot\frac94}=1$, prawa $\sqrt{\frac{16}{9}\cdot\frac9{16}}=1$ — prawda.

d) Lewa strona to $\sqrt{\frac{42}{8}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$, a prawa $\sqrt{1,5\cdot3,5}=\sqrt{\frac{21}{4}}$ — prawda.