MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 258

a) Cztery półpłaszczyzny ograniczają romb o wierzchołkach $(\pm4,0)$ i $(0,\pm4)$. Jest to dokładnie zbiór $|x|+|y|\le4.$

b) Zaznaczony trójkąt leży nad osią $OX$ oraz pod prostymi przechodzącymi przez jego górny wierzchołek. Ich równania to $y=-\frac52x+5$ i $y=\frac53x+5$. Układ ma więc postać $y\ge0,\qquad y\le-\frac52x+5,\qquad y\le\frac53x+5.$

a) Przecięcia prostych brzegowych dają wierzchołki $(-1,1)$, $(5,-5)$ i $(5,3)$. Za podstawę bierzemy pionowy odcinek długości $8$, a wysokość ma długość $6$, więc $P=\frac12\cdot8\cdot6=24.$

b) Wierzchołki obszaru to $(0,0)$, $(4,0)$, $(1,3)$ i $(0,2)$. Ze wzoru Gaussa na pole wielokąta otrzymujemy $P=\frac12|0+12+2+0-(0+0+0+0)|=7.$

a) Proste brzegowe wyznaczają trójkąt o wierzchołkach $(0,-6)$, $(12,-6)$ i $(6,0)$. Ma on podstawę $12$ i wysokość $6$, więc $P=\frac12\cdot12\cdot6=36$.

b) Na prostej $x=0$ leżą wierzchołki $(0,-1)$ i $(0,4)$. Pozostałe dwie proste przecinają się w $(-\frac{15}{4},\frac{11}{4})$. Pionowa podstawa ma długość $5$, a odpowiadająca jej wysokość $\frac{15}{4}$, zatem $P=\frac12\cdot5\cdot\frac{15}{4}=\frac{75}{8}$.

c) Wierzchołki to $(0,-4)$, $(2,2)$ i $(4,0)$. Wyznacznik wektorów $(2,6)$ i $(4,4)$ ma wartość bezwzględną $16$, więc pole trójkąta wynosi $8$.

Proste brzegowe przecinają się kolejno w punktach $(-3,-4),\quad(-1,0),\quad(3,4),\quad(1,0).$ Ze wzoru Gaussa pole czworokąta wynosi $8$. Długości kolejnych boków są równe $2\sqrt5$, $4\sqrt2$, $2\sqrt5$, $4\sqrt2$, zatem $L=4\sqrt5+8\sqrt2=4(\sqrt5+2\sqrt2).$

Druga nierówność opisuje obszar nad prostą $y=ax-1$, a pierwsza — pod prostą $y=-x+3$. Aby część wspólna była ograniczona w pokazany sposób, proste muszą tworzyć dolny i górny brzeg o przeciwnych kierunkach. Współczynnik drugiej prostej musi być ujemny, więc $a<0$. Dla $a\ge0$ obszar pozostaje nieograniczony w kierunku poziomym.

a) Nierówności $y\ge x$ i $y\ge-x$ są równoważne warunkowi $y\ge|x|$.

b) Warunki $y\le x-3$ lub $y\le-x+3$ opisują obszar pod wykresem $y=|x-3|$, czyli $y\le|x-3|$.

c) Łączymy $y\ge2$ z $y\le|x-1|$. Warunek $|x-1|\ge2$ daje $x\le-1$ lub $x\ge3$, a w tych pasach $2\le y\le|x-1|$.

a) Proste brzegowe tworzą trójkąt o wierzchołkach $(0,-2)$, $(0,2)$ i $(6,0)$. Podstawa na osi $OY$ ma długość $4$, a wysokość $6$, zatem $P=12$.

b) Po zmianie wyrazów wolnych wierzchołki to $(0,-4)$, $(0,4)$ i $(6,0)$. Podstawa ma długość $8$, wysokość $6$, więc $P=24$.