MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 257

Parametryzujemy odcinek $AB$: $(x,y)=(-2,3)+t(6,-3),\qquad 0\le t\le1.$ Po podstawieniu do równania prostej brzegowej sprawdzamy, czy otrzymany parametr należy do $[0,1]$. W a) i c) punkt przecięcia wypada poza odcinkiem. W b), dla brzegu $x-3y=9$, parametr należy do $[0,1]$, więc odcinek przecina brzeg półpłaszczyzny.

Każdą prostą brzegową zapisujemy w postaci kierunkowej i sprawdzamy dowolny punkt wewnętrzny zaznaczonego obszaru. Brzegi ciągłe włączamy, a przerywane wyłączamy. Dostajemy:

a) obszar poniżej obu prostych: $y\le x$ i $y\le-2x$; b) obszar nad obiema prostymi, z drugim brzegiem wyłączonym: $y\ge1-x$ i $y>2x-6$; c) część wspólna $y\ge-x$, $y>x-4$ i $y\le\frac{x+2}{4}$; d) pas między prostymi równoległymi: $x+1\le y\le x+\frac52$.

Punkt $(m,n)$ należy do obu prostych brzegowych, więc spełnia układ $m+n=7,\qquad 2m-n=5.$ Po dodaniu równań mamy $3m=12$, czyli $m=4$, a następnie $n=3$. Ponieważ nierówności są słabe, punkt przecięcia brzegów należy do obu półpłaszczyzn.

W każdym podpunkcie można dopisać jedną nierówność opisującą półpłaszczyznę, której przecięcie z danym zbiorem daje zaznaczony obszar. Przykładowy poprawny wybór to: a) $y\ge2x+4$; b) $y\le2x+5$ (warunek nadmiarowy dla wskazanego obszaru); c) $y\ge0$; d) $y\ge2x$. W e) pojedyncza półpłaszczyzna nie może odciąć wymaganego niewypukłego fragmentu, więc zadanie jest niemożliwe.

Proste brzegowe to $y=2x+4$ i $y=ax+b$. Gdy $a\ne2$, przecinają się, a część wspólna półpłaszczyzn jest kątem. Dla $a=2$ proste są równoległe: jeśli $b<4$, powstaje niepusty pas; jeśli $b>4$, warunki są sprzeczne; jeśli $b=4$, obie granice pokrywają się i rozwiązaniem jest prosta.

Pierwszy warunek ma brzeg $y=-4x-2$, a drugi $y=ax+b$. Dla $a\ne-4$ proste się przecinają i rozwiązaniem jest kąt. Przy $a=-4$ porównujemy wyrazy wolne: dla $b>-2$ otrzymujemy pas, dla $b<-2$ zbiór pusty, a dla $b=-2$ wspólną prostą.