MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 256

O kierunku półpłaszczyzny decyduje punkt testowy, a o włączeniu prostej brzegowej znak nierówności. Otrzymujemy:

a) lewą półpłaszczyznę bez brzegu $x=3$; b) prawą półpłaszczyznę z brzegiem $x=-2$; c) obszar nad prostą $y=-1$ bez brzegu; d) obszar pod $y=4$ bez brzegu; e) pionowy pas między $x=-1$ i $x=3$, z lewym brzegiem włączonym; f) otwarty poziomy pas między $y=0$ i $y=3$; g) obszar pod $y=2x+2$ bez brzegu; h) obszar nad $y=3x-4$ z brzegiem; i) obszar nad $y=x+1$ bez brzegu.

Półpłaszczyzna jest zbiorem wypukłym: cały odcinek $AB$ należy do niej wtedy i tylko wtedy, gdy należą do niej oba końce. Sprawdzamy więc współrzędne $A$ i $B$ w każdej nierówności. W a) punkt $A$ spełnia warunek, lecz $B$ nie; w b) oba punkty go spełniają; w c) punkt $B$ leży na wyłączonym brzegu; w d) oba końce należą do półpłaszczyzny.

Dla każdej prostej brzegowej odczytujemy równanie z dwóch widocznych punktów, a następnie wybieramy stronę zawierającą zacieniowany obszar. Brzeg ciągły odpowiada nierówności słabej, a przerywany — ostrej. Z rysunków otrzymujemy:

a) $y<-x+4$ i $y\le x$; b) $y\le x+2$, $x\le2$ i $y\ge-\frac12x-1$; c) $x\le4$, $y\ge-3$ i $y\ge-2x-3$; d) $x\ge-2$, $y\ge-x-2$ i $y\ge x-2$; e) $y\ge x-4$, $y\le x$, $y\ge-x-4$ i $y\le-x+4$; f) $y\le x+4$, $y\ge-2x-8$, $y\ge-2$, $y\ge2x-4$ i $y\le-x+2$.

Oznaczmy $A=\{x+y\le2\}$, $B=\{x-y\ge4\}$ oraz $C=\{x\ge-4\}$. Sumę zbiorów zapisujemy spójnikiem „lub”, iloczyn spójnikiem „i”, a różnicę przez dołączenie zaprzeczenia drugiego warunku. Stąd:

a) $A\cup B$: $(x+y\le2)\lor(x-y\ge4)$; b) $A\cap B$: oba warunki jednocześnie; c) $A\setminus B$: $x+y\le2$ oraz $x-y<4$; d) $B\setminus A$: $x-y\ge4$ oraz $x+y>2$; e) $A\cap B\cap C$: warunki z b) oraz $x\ge-4$.