MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 255

Wysokości mają współczynniki $\frac12$ i $2$. Boki do nich prostopadłe, przechodzące przez $A(5,-3)$, mają więc równania $y=-2x+7,\qquad y=-\frac12x-\frac12.$ Przecięcie pierwszego boku z wysokością $y=2x-1$ daje $(2,3)$, a przecięcie drugiego z wysokością $y=\frac12x+\frac12$ daje $(-1,0)$.

Porównujemy współczynnik kierunkowy i wyraz wolny z prostą $k:y=2x+1$.

a) $l:y=\frac{m^2}{2}x+\frac m2$. Równoległość daje $m=\pm2$; dla $m=2$ proste się pokrywają, a dla $m=-2$ są rozłączne.

b) $l:y=\frac{2}{m^2}x-\frac1m$. Równoległość daje $m=\pm1$; pokrycie zachodzi dla $m=-1$, a rozłączność dla $m=1$.

c) Dla $m\ne0$ mamy $l:y=2x+\frac2m$, więc zawsze jest równoległa do $k$. Pokrywa się z nią dla $m=2$, a dla $m\in\mathbb R\setminus\{0,2\}$ nie ma z nią punktów wspólnych.

Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą $-\frac k4$ oraz $\frac m2$. Warunek równoległości daje $-\frac k4=\frac m2,$ czyli $m=-\frac12k$. W układzie o współrzędnych $(k,m)$ jest to prosta przechodząca przez początek.

Pierwsza prosta ma postać $y=\frac12x-k$. Druga dla $m\ne0$ ma postać $y=\frac4m x-1$. Równoległość wymaga $\frac4m=\frac12$, zatem $m=8$. Proste pokryłyby się dla $-k=-1$, czyli $k=1$, więc tę wartość wykluczamy.

Dwie pierwsze proste przecinają się w punkcie wyznaczonym przez $2x+y=3,\qquad 2x-y=1.$ Po dodaniu równań otrzymujemy $(x,y)=(1,1)$. Trzecia prosta ma przechodzić przez ten punkt, więc $1-a+1=0$, skąd $a=2$.

Po zrównaniu prawych stron dostajemy $(a-b)x=a-b.$ Skoro proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie, $a\ne b$, zatem $x=1$. Wtedy $y=a+b$.

Wspólny punkt musi leżeć na $y=ax+b$ oraz $y=-ax-b$, więc ma $y=0$.

Jeżeli $a\ne b$, przecięcie dwóch pierwszych prostych ma $x=1$. Warunek trzeciej prostej wymusza wtedy $a+b=0$, a wspólnym punktem jest $(1,0)$.

Treść dopuszcza jednak także $a=b\ne0$. Wtedy dwie pierwsze proste pokrywają się, lecz ich wspólny zbiór z trzecią prostą nadal jest jednoelementowy: $a(x+1)=0$, czyli punkt $(-1,0)$. Dla $a=b=0$ wspólnych punktów jest nieskończenie wiele, co przeczy założeniu.

Przecięcie pierwszej i trzeciej prostej spełnia $y=2x-1$ oraz $x-y+a+3=0$. Stąd $x=a+4,\qquad y=2a+7.$ Podstawienie do $x+ay+4=0$ daje $a+4+a(2a+7)+4=2(a+2)^2=0,$ zatem $a=-2$.

Po podstawieniu $y=2x$ pierwsze równanie ma postać $|x|+|2x|=3,$ czyli $3|x|=3$. Stąd $x=1$ lub $x=-1$, a odpowiednio $y=2$ lub $y=-2$.

Rozbijamy równania według znaków wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

a) Drugie równanie daje $x=2+2|y|\ge2$, więc $|x|=x$. Z pierwszego $y=2-x\le0$; po podstawieniu otrzymujemy $(2,0)$.

b) $|x-1|=2$ daje $x=-1$ lub $x=3$. Dla $x=-1$ mamy $y=0$, a dla $x=3$ — $y=\pm2$.

c) Niech $u=|x+2|$. Ponieważ $y=u\ge0$, pierwsze równanie daje $2u=2$. Stąd $y=1$ oraz $x=-3$ lub $x=-1$.

d) Z $|x+1|=2y-5$ wynika $y\ge\frac52$. Pierwsze równanie daje wtedy $|x+1|+y=4$, więc $3y=9$. Zatem $y=3$ i $|x+1|=1$, czyli $x=-2$ lub $x=0$.