MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 254

Prosta $BC$ przechodzi przez $B(-3,1)$ i $C(0,-3)$, zatem ma równanie $4x+3y+9=0.$ Wysokość $AH$ jest odległością punktu $A(1,4)$ od tej prostej: $AH=\frac{|4\cdot1+3\cdot4+9|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{5}=5.$

Wektory dwóch kolejnych boków to $\overrightarrow{AB}=(5,-1),\qquad \overrightarrow{BC}=(-7,6).$ Pole równoległoboku jest wartością bezwzględną wyznacznika tych wektorów: $P=|5\cdot6-(-1)(-7)|=|30-7|=23.$

Punkt $A$ jest przecięciem $x=2y$ i $x+y=3$, więc $A=(2,1)$. Niech $B=(t,3-t)$. Ponieważ romb jest równoległobokiem, $C=B+D-A=(t-1,10-t).$ Punkt $C$ leży na przekątnej $x=2y$, zatem $t-1=2(10-t),$ skąd $t=7$. Otrzymujemy $B=(7,-4)$ i $C=(6,3)$.

Środek ciężkości ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi współrzędnych wierzchołków: $G=\left(\frac{0+8+10}{3},\frac{-4-8+6}{3}\right)=(6,-2).$ Ten sam punkt otrzymuje się jako przecięcie prostych łączących wierzchołki ze środkami przeciwległych boków.

Rozpatrujemy gałęzie wykresów wartości bezwzględnej.

a) $y=x+4$ i $y=|x|$. Dla $x<0$ mamy $-x=x+4$, więc $(-2,2)$; gałąź $x\ge0$ nie daje rozwiązania.

b) $y=-|x|$. Dla $x<0$ mamy $y=x$, co daje $(-1,-1)$, a dla $x\ge0$ mamy $y=-x$, co daje $(2,-2)$.

c) $y=2x-6$ oraz $|y|=x$. Dla $y<0$ otrzymujemy $(2,-2)$, a dla $y\ge0$ — $(6,6)$. Wszystkie pary spełniają odpowiednie równania.

Prosta ma postać $y=\frac43x+\frac13$.

Dla $x<-1$ porównujemy ją z $y=2x+3$: $2x+3=\frac43x+\frac13,$ skąd $x=-4$, $y=-5$; warunek gałęzi jest spełniony.

Dla $x\ge-1$ porównujemy ją z $y=\frac23x+\frac53$. Otrzymujemy $x=2$, $y=3$, również w dziedzinie tej gałęzi.

Prosta ma co najwyżej po jednym punkcie wspólnym z każdą z trzech różnych prostych zawierających gałęzie wykresu. Aby punktów wspólnych było co najmniej cztery, musi pokrywać się z jedną z gałęzi na przedziale niezerowej długości. Możliwe są więc dokładnie równania $y=-2x+1,\qquad y=x+4,\qquad y=-x+6.$ Każde z nich daje nieskończenie wiele punktów wspólnych na dziedzinie odpowiedniej gałęzi.

Prosta przez $A(5,3)$ i $B(\frac72,0)$ ma współczynnik $\frac{3-0}{5-\frac72}=2,$ zatem jej równanie to $y=2x-7$. Odbicie względem osi $OX$ zmienia znak współczynnika kierunkowego, a promień odbity nadal przechodzi przez $B$. Stąd $y=-2x+7$.

Dana prosta przechodzi przez $D$ i ma współczynnik $-\frac12$. Drugi równoległy bok przez $B$ ma równanie $x+2y+4=0$. Boki prostopadłe mają współczynnik $2$, więc ich równania przez $B$ i $D$ to $2x-y-2=0,\qquad 2x-y+8=0.$ Odległości par prostych równoległych wynoszą odpowiednio $\frac{20}{\sqrt5}=4\sqrt5,\qquad \frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5.$ Pole prostokąta jest więc równe $40$.

Prosta $AP$ ma współczynnik $\frac15$, więc bok $BC$ ma współczynnik $-5$ i równanie $y=-5x+28$. Prosta $BP$ ma współczynnik $-\frac74$, dlatego bok $AC$ ma współczynnik $\frac47$ i równanie $4x-7y+1=0$. Przecięcie tych boków spełnia $y=-5x+28,\qquad 4x-7y+1=0,$ skąd $x=5$, $y=3$.