MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 253

Współczynnik kierunkowy prostej $m$ wynosi $a=\frac{2-3}{1-(-3)}=-\frac14.$ Z punktu $B=(1,2)$ dostajemy $2=-\frac14+b$, czyli $b=\frac94$. Stąd $m\colon x+4y-9=0.$

Układ sprzeczny utworzy dowolna inna prosta równoległa, np. $x+4y=0$. Układ nieoznaczony otrzymamy dla równania równoważnego równaniu $m$, np. $2x+8y-18=0$. Do układu oznaczonego wystarczy prosta nierównoległa, np. $y=0$.

Dodając równania pierwszego układu, otrzymujemy $2x+2=0$, więc $x=-1$ i $y=-3$. Zatem $P=(-1,-3)$.

Dodanie równań drugiego układu daje $4x-12=0$, skąd $x=3$ i $y=-2$. Zatem $Q=(3,-2)$.

Współczynnik kierunkowy prostej $PQ$ to $\frac{-2-(-3)}{3-(-1)}=\frac14.$ Równanie przez punkt $P$ ma postać $y+3=\frac14(x+1),$ czyli $x-4y-11=0$.

a) Proste mają różne współczynniki kierunkowe: $3$ i $-2$, więc przecinają się w jednym punkcie.

b) Lewe strony równań są identyczne, lecz prawe strony różne. Są to różne proste równoległe, zatem rozwiązań nie ma.

c) Drugie równanie powstaje z pierwszego przez pomnożenie obu stron przez $\frac32$. Oba opisują tę samą prostą, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

a) Pierwsze dwie proste przecinają się w punkcie $(2,-1)$, ponieważ z $x+y=1$ i $x-y=3$ wynika $2x=4$. Punkt ten nie leży na trzeciej prostej: $3\cdot2+(-1)+5=10\ne0.$ Trzy proste nie mają wspólnego punktu, więc układ jest sprzeczny.

b) Z $x+y=0$ mamy $y=-x$. Drugie równanie daje wtedy $2x+4=0$, zatem $(x,y)=(-2,2)$. Sprawdzenie w trzecim równaniu: $2(-2)+2+2=0.$ Punkt spełnia wszystkie trzy równania.

a) Równość trzech wyrażeń zapisujemy jako układ dwóch równań: $x+4y-6=0,\qquad 2x+5y-9=0.$ Z pierwszego $x=6-4y$. Po podstawieniu do drugiego otrzymujemy $3-3y=0$, czyli $(x,y)=(2,1)$.

b) Analogicznie dostajemy $3x+2y-2=0,\qquad 2x-3y+16=0.$ Rozwiązaniem jest $(-2,4)$. Sprawdzenie w pierwotnym zapisie daje w każdym z trzech wyrażeń wartość $-16$.

Punkt przecięcia dwóch pierwszych prostych wyznaczamy z równań $x+2y=9,\qquad x=4y.$ Stąd $6y=9$, więc $(x,y)=\left(6,\frac32\right)$.

Ten punkt nie leży na trzeciej prostej, ponieważ $3\cdot6-2\cdot\frac32-2=13\ne0.$ Zatem trzy wykresy nie mają wspólnego punktu i nie istnieje para spełniająca cały układ.

Wyznaczamy przecięcia parami. Dla prostych $k$ i $m$ z $y=2-x$ otrzymujemy $5x=5$, więc $K=(1,1)$. Proste $l$ i $m$ przecinają się w punkcie $L=(-3,5)$, a proste $k$ i $l$ — w punkcie $M=(5,7)$.

Biorąc wektory $\overrightarrow{KL}=(-4,4),\qquad \overrightarrow{KM}=(4,6),$ obliczamy pole z wyznacznika: $P=\frac12\left|(-4)\cdot6-4\cdot4\right|=\frac12\cdot40=20.$