MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 252

Sprowadzamy równania do postaci dogodnej do narysowania, a punkt przecięcia sprawdzamy przez podstawienie.

a) Druga prosta ma równanie $x=-3$. Dla $x=-3$ pierwsze równanie daje $-12-y=-12$, więc $y=0$.

b) Po odjęciu równań dostajemy $3x-3y=0$, czyli $x=y$. Stąd $5x=5$ i $(x,y)=(1,1)$.

c) Z $x+2y=2$ mamy $x=2-2y$. Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy $4-y=6$, zatem $(x,y)=(6,-2)$.

d) Równania opisują proste $y=3x+1\quad\text{i}\quad y=3x+2.$ Mają one ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne, więc nie mają punktu wspólnego.

e) Z $x+y=5$ mamy $y=5-x$. Drugie równanie przyjmuje postać $5x-10=-15$, więc $(x,y)=(-1,6)$.

f) Oba równania po skróceniu mają postać $2x+y=2$. Wykresy pokrywają się, zatem rozwiązań jest nieskończenie wiele: $(x,2-2x)$ dla $x\in\mathbb R$.

Rozwiązania algebraiczne są zarazem współrzędnymi punktów przecięcia odpowiednich wykresów.

a) $y=x+3$ i $y=-2x-6$, więc $x+3=-2x-6$. Stąd $(x,y)=(-3,0)$.

b) $x=-4y$. Po podstawieniu do $3x-y=13$ mamy $-13y=13$, więc $(x,y)=(4,-1)$.

c) Pomnożenie pierwszego równania przez $2$ daje $4x+y=4$, podczas gdy drugie ma postać $4x+y=2$. Proste są równoległe i układ nie ma rozwiązania.

d) Oba równania są równoważne równaniu $y=6x-3$. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań $(x,6x-3)$.

e) Z pierwszego równania $x=4+2y$. Po podstawieniu do drugiego: $8+3y=2$, więc $(x,y)=(0,-2)$.

f) Drugie równanie daje $x=2$, a wtedy z pierwszego $y=4$.

Wierzchołki otrzymujemy jako przecięcia po jednej prostej z każdej pary prostych równoległych.

a) Dla $y=1$ otrzymujemy punkty $(0,1)$ i $(5,1)$, a dla $y=5$ — $(3,5)$ i $(8,5)$. Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem każdej z nich, zatem ma współrzędne $S=\left(\frac{0+8}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(4,3).$

b) Przecięcia prostych $x-7y+28=0$, $x-7y-2=0$ z prostymi $y-x=4$, $x-y=2$ dają kolejno $(-5,-1),\ (2,0),\ (7,5),\ (0,4).$ Środek przeciwległych wierzchołków wynosi $S=\left(\frac{-5+7}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(1,2).$

a) Dla $A=(1,-3)$ lewa strona pierwszego równania wynosi $-2\cdot1-(-3)-1=0,$ a drugiego $3\cdot1-(-3)-6=0.$ Punkt $A$ leży więc na obu prostych. Ich współczynniki kierunkowe są różne, zatem jest ich jedynym punktem przecięcia.

b) Analogicznie $\frac12\cdot1-(-3)-\frac72=0,$ $-5\cdot1+(-3)+8=0.$ Także te proste mają różne współczynniki kierunkowe, więc przecinają się dokładnie w punkcie $A$.

Z wykresu prostych $y=-\frac14x+3$ oraz $y=3x-1$ można odczytać w przybliżeniu punkt $(1{,}2,2{,}7)$.

Algebraicznie z pierwszego równania $x=12-4y$. Podstawiamy do drugiego: $3(12-4y)-y-1=0,$ $35-13y=0.$ Stąd $y=\frac{35}{13},\qquad x=12-4\cdot\frac{35}{13}=\frac{16}{13}.$ Wartości dziesiętne to około $(1{,}23,2{,}69)$, co zgadza się z odczytem graficznym.

Usuwamy ułamki i wyznaczamy punkty przecięcia.

a) Układ jest równoważny układowi $x+2y=4$, $2x-y=3$. Po podstawieniu $y=2-\frac12x$ do drugiego równania otrzymujemy $x=2$, $y=1$.

b) Pierwsze równanie daje $2x+y=10$, a drugie $y=x+1$. Zatem $3x+1=10$, więc $(x,y)=(3,4)$.

c) Z pierwszego równania $y=-4-3x$. Drugie po pomnożeniu przez $12$ ma postać $2x-3y=12$. Po podstawieniu dostajemy $11x=0$, zatem $(x,y)=(0,-4)$.

Każda otrzymana para spełnia oba równania odpowiedniego układu.