MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 251

Przeciwległe boki prostokąta są równoległe, więc po odpowiednim uporządkowaniu ich współczynniki to $a,a,b,b$. Sąsiednie boki są prostopadłe, zatem $ab=-1$. Wobec tego

$$a_1a_2a_3a_4=a^2b^2=(ab)^2=1.$$

Punkt $P$ ma odciętą $6$ i leży na pierwszej prostej: $2\cdot6-3y+15=0,$ więc $y=9$ i $P=(6,9)$.

Pierwsza prosta ma współczynnik $\frac23$, zatem prostopadła ma współczynnik $-\frac32$. Dla $x+by+c=0$ współczynnik wynosi $-\frac1b$, więc $b=\frac23$. Podstawienie $P$ daje $6+\frac23\cdot9+c=0,$ stąd $c=-12$.

Niech $C=(0,c)$. Ponieważ kąt przy $C$ jest prosty,

$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0.$$

Mamy $\overrightarrow{CA}=(-15,9-c)$ i $\overrightarrow{CB}=(-4,-8-c)$, zatem $60+(9-c)(-8-c)=0.$ Po uproszczeniu $c^2-c-12=0,$ czyli $(c-4)(c+3)=0$.

Ponieważ wszystkie współczynniki $B_1,B_2$ są niezerowe, współczynniki kierunkowe prostych wynoszą $a_1=-\frac{A_1}{B_1},\qquad a_2=-\frac{A_2}{B_2}.$ Prostopadłość daje $a_1a_2=-1$, zatem

$$\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=-1.$$

Po pomnożeniu przez $B_1B_2$ otrzymujemy $A_1A_2+B_1B_2=0$.

Gdy $B_1\ne0$ i $B_2\ne0$, z warunku $A_1A_2+B_1B_2=0$ wynika

$$\left(-\frac{A_1}{B_1}\right) \left(-\frac{A_2}{B_2}\right)=-1,$$

więc iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$.

Jeżeli np. $B_1=0$, to $A_1\ne0$, a warunek wymusza $A_2=0$; pierwsza prosta jest pionowa, a druga pozioma. Pozostały przypadek jest symetryczny. We wszystkich przypadkach proste są prostopadłe.