MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 250

W równoległoboku o kolejnych wierzchołkach zachodzi $D=A+C-B$.

a) $D=(1,-2)+(8,-3)-(2,-5)=(7,0)$. Wektory $\overrightarrow{AB}=(1,-3)$ i $\overrightarrow{BC}=(6,2)$ mają iloczyn skalarny $0$, więc czworokąt jest prostokątem. Ich długości są różne, zatem nie jest kwadratem ani rombem.

b) $D=(-5,4)+(3,0)-(-2,0)=(0,4)$. Długości sąsiednich boków wynoszą po $5$, więc równoległobok jest rombem. Boki nie są prostopadłe, więc nie jest prostokątem ani kwadratem.

Po podstawieniu $(x_0,y_0)$ do równania $B(x-x_0)-A(y-y_0)=0$ otrzymujemy $0$, więc prosta przechodzi przez $P$.

Wektorem normalnym pierwszej prostej jest $(A,B)$, a drugiej $(B,-A)$. Ich iloczyn skalarny wynosi $A\cdot B+B\cdot(-A)=0.$ Wektory normalne są prostopadłe, zatem również opisane proste są prostopadłe.

Iloczyn współczynników musi wynosić $-1$:

Stąd

Rozwiązanie dwóch równań liniowych daje $k=\frac{2\sqrt3}{3}$ albo $k=\sqrt3$.

Prostopadłość daje $ab=-1$. Ponieważ punkt przecięcia leży na osi $OX$, dla pewnego $x$ zachodzi $ax+b=0,\qquad bx+a=0.$ Zatem $-\frac ba=-\frac ab$, czyli $a^2=b^2$. Warunek $a>0>b$ wymusza $b=-a$. Po podstawieniu do $ab=-1$ mamy $-a^2=-1$, więc $a=1$ i $b=-1$.

Pierwsze równanie dzielimy przez $3$: $4x-3y+15=0.$ Druga prosta ma postać $4x-3y+25=0$. Odległość prostych równoległych $Ax+By+C_1=0$ i $Ax+By+C_2=0$ wynosi

Wysokość $3x-2y+8=0$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0,4)$, więc jest to jeden z szukanych wierzchołków.

Bok przeciwległy do tego wierzchołka jest prostopadły do wysokości. Wysokość ma współczynnik $\frac32$, zatem bok przez $(-9,-3)$ ma współczynnik $-\frac23$: $y+3=-\frac23(x+9),$ czyli $y=-\frac23x-9$. Przecina on oś $OY$ w drugim wierzchołku $(0,-9)$.

a) Warunek równoległości $2m\cdot m=10\cdot5$ daje $m=\pm5$. Dla $m\ne0$ iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $4$, więc proste nie są prostopadłe. Dla $m=0$ pierwsza jest pozioma, a druga pionowa, zatem są prostopadłe.

b) Równość współczynników prowadzi do $(m-1)^2=(m+1)^2$, czyli $m=0$. Dla $m=1$ oraz $m=-1$ jedna prosta jest pionowa, a druga pozioma, więc są prostopadłe.

Ponieważ $AC$ jest przeciwprostokątną, kąt przy $B$ jest prosty. Korzystamy z warunku $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$.

a) $(-2,a-1)\cdot(3,2)=0$, więc $a=4$.

b) $(a-5,-4)\cdot(-1,3)=0$, więc $a=-7$.

c) $(a-2,a+2)\cdot(2,6)=0$, więc $a=-1$.

d) $(a-5,-2a-5)\cdot(-9,3)=0$, więc $a=2$.

Prosta $k$ jest symetralną odcinka łączącego $(0,0)$ z $P(8,4)$. Jego środek to $(4,2)$ i leży na $k$, zatem $2=4a+10,$ skąd $a=-2$. Zgadza się to z prostopadłością: odcinek ma współczynnik $\frac12$, a symetralna $-2$.