MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 249

Współczynnik prostej $AB$ wynosi $a_{AB}=\frac{7-1}{-5-(-2)}=-2.$

a) Prosta prostopadła ma współczynnik $\frac12$ i przechodzi przez $C(4,-3)$: $y+3=\frac12(x-4).$

b) Prosta równoległa ma współczynnik $-2$: $y+3=-2(x-4).$

W każdym podpunkcie zapisujemy oba równania w postaci kierunkowej i korzystamy z warunku $a_ka_l=-1$.

a) $2\cdot3m=-1$; b) $(m-1)(-4)=-1$;

c) $\frac12(-2m)=-1$; d) $(-\frac35)(\frac23m)=-1$;

e) $(-\frac{2m}{3})(\frac52)=-1$; f) $(\frac{\sqrt6}{3})(-\frac{m}{\sqrt6})=-1$.

a) Prosta $l$ ma współczynnik $2m$. Równoległość daje $m-1=2m,$ więc $m=-1$.

b) Współczynniki wynoszą $m$ i $-9m$. Warunek prostopadłości $m(-9m)=-1$ daje $m^2=\frac19$, czyli $m=\pm\frac13$.

Symetralna przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła. Dla każdego podpunktu obliczamy środek oraz przeciwną odwrotność współczynnika $AB$.

a) Środek $(-3,-1)$, współczynnik symetralnej $-1$. b) Środek $\left(\frac{15}{2},0\right)$, współczynnik $\frac32$. c) Środek $\left(\frac12,\frac52\right)$, współczynnik $-\frac15$. d) Środek $(0,0)$, współczynnik $-1$. e) Odcinek jest pionowy, więc symetralna jest pozioma. f) Odcinek jest poziomy, więc symetralna jest pionowa.

Niech prosta przez $A(-1,-2)$ ma równanie $ux+vy+u+2v=0$. Równość odległości punktów $B$ i $C$ od tej prostej daje $|3u+6v|=|3u|,$ czyli $|u+2v|=|u|$.

Stąd $v=0$, co daje $x=-1$, albo $u+v=0$, co daje $x-y-1=0$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$: $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

a) $d=|2+\sqrt2|=2+\sqrt2$.

b) $d=\frac{|-2\cdot2-4+8|}{\sqrt5}=0$.

c) $d=\frac{|3(-1)-4\cdot2+5|}{5}=\frac65$.

d) Po pomnożeniu równania przez $4$: $3x-4y+4=0$, więc $d=\frac{|15-12+4|}{5}=\frac75$.

Dla prostej $3x-2y+5=0$ i punktu $A(x_0,y_0)$ stosujemy wzór na odbicie względem prostej. Wartość $d=3(-4)-2\cdot3+5=-13,$ a $3^2+(-2)^2=13$. Zatem

$$x_B=-4-\frac{2\cdot3\cdot(-13)}{13}=2,$$ $$y_B=3-\frac{2\cdot(-2)\cdot(-13)}{13}=-1.$$

a) Odbicie względem $y=-5$ zachowuje $x$, a druga współrzędna spełnia $\frac{3+y'}2=-5$, więc $y'=-13$.

b) Odbicie względem $y=x$ zamienia współrzędne miejscami.

c) Prosta ma postać $x-y-5=0$. Zastosowanie wzoru na odbicie punktu względem prostej daje $(8,-7)$.

Wierzchołki są przecięciami par prostych. Otrzymujemy

$$L_2\cap L_3=\left(\frac12,\frac32\right),\quad L_1\cap L_3=\left(-\frac32,1\right),\quad L_1\cap L_2=\left(\frac52,-1\right).$$

Wysokość z pierwszego punktu jest prostopadła do $L_1$ i ma współczynnik $2$. Wysokość z drugiego jest prostopadła do $L_2$ i ma współczynnik $\frac45$. Wysokość z trzeciego jest prostopadła do $L_3$ i ma współczynnik $-4$.